21. В компании собрались 5 мальчиков и 5 девочек. Сколькими способами можно а) Разбить их на пары мальчик девочка б) Разбить их на пары мальчик девочка для обучения пяти различным видам танцев (каждая пара учит один танец) в) Разбить их на пары мальчик девочка, причём две пары должны обучиться лезгинке, а оставшиеся три вальсу г) Разбить их на пары мальчик девочка и посадить за пять парт д) Посадить этих 10 человек за круглый стол на 10 стульев так, чтобы мальчики и девочки чередовались е) Поставить этих 10 человек в хоровод так, чтобы мальчики и девочки чередовались ж) Разбить их на пары

Давайте разберем ваш вопрос по частям.

а) Разбить их на пары мальчик-девочка

Чтобы разбить 5 мальчиков и 5 девочек на пары, мы можем выбрать любого мальчика и любую девочку, и таким образом все пары будут разными. Это задача о перестановках, и количество способов можно вычислить как:

\[ 5! = 120 \]

Здесь \(5!\) означает 5 факториал, что равняется произведению всех целых чисел от 1 до 5.

б) Разбить их на пары мальчик-девочка для обучения пяти различным видам танцев

Если каждую пару необходимо назначить для обучения пятого различным танцам, то сначала мы формируем пары так же, как в пункте (а), а затем распределяем их по танцам.

Один танец можно назначить каждой паре, и для 5 пар это можно сделать 5! способами. Таким образом, общее количество способов:

\[ 5! \times 5! = 120 \times 120 = 14400 \]

в) Разбить их на пары мальчик-девочка, при этом две пары должны обучиться лезгинке, а оставшиеся три - вальсу

Для этой задачи сначала выбираем 2 пары из 5 для обучения лезгинке. Это можно сделать следующим образом:

\[ C(5, 2) = \frac{5!}{2!(5-2)!} = 10 \]

Теперь для оставшихся 3 пар, каждая пара будет учить вальс. Таким образом, каждая пара лезгинки может по-разному располагаться, что дает \(2!\) (для двух пар), а каждая из трёх пар для вальса также \(3!\) способов. Таким образом, общее количество способов:

\[ C(5, 2) \times (2!) \times (3!) = 10 \times 2 \times 6 = 120 \]

г) Разбить их на пары мальчик-девочка и посадить за пять парт

Поскольку у нас есть 5 пар, их можно просто посадить в порядке, то есть:

\[ 5! = 120 \]

д) Посадить этих 10 человек за круглый стол на 10 стульев так, чтобы мальчики и девочки чередовались

Для размещения людей за кругом, выбираем одного мальчика на фиксированное место. Далее располагаем остальных 4 мальчика и 5 девочек. У мальчиков 4! перестановок, а у девочек 5! размещений. Итог:

\[ 4! \times 5! = 24 \times 120 = 2880 \]

е) Поставить этих 10 человек в хоровод так, чтобы мальчики и девочки чередовались

Поскольку хоровод также имеет круглое размещение, аналогично пункту (д), у нас будет:

\[ 4! \times 5! = 2880 \]

ж) Разбить их на пары

Чтобы разбить 5 мальчиков и 5 девочек на пары без дополнительных условий, мы уже нашли, что это

\[ 5! = 120 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вы хотите изучить что-то подробнее, не стесняйтесь спрашивать!