Составьте уравнение касательной к графику функции: 1) f(x) = sqrt(3x + 1) параллельной прямой y = 3/4 * x + 1
Чтобы составить уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sqrt{3x + 1} \), параллельной прямой \( y = \frac{3}{4}x + 1 \), начнем с нахождения производной функции. Это позволит нам найти угол наклона касательной и точку касания.
- Найдите производную функции \( f(x) \):
\[ f(x) = \sqrt{3x + 1} \]
Для нахождения производной воспользуемся правилом дифференцирования:
\[ f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{3x + 1}} \cdot 3 = \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} \]
- Установите угол наклона касательной:
У нас есть прямая с углом наклона \( m = \frac{3}{4} \). Для касательной мы должны приравнять \( f'(x) \) к \( \frac{3}{4} \):
\[ \frac{3}{2\sqrt{3x + 1}} = \frac{3}{4} \]
- Решите это уравнение:
Умножим обе стороны на \( 2\sqrt{3x + 1} \):
\[ 3 = \frac{3}{4} \cdot 2\sqrt{3x + 1} \]
Упрощаем:
\[ 3 = \frac{3}{2}\sqrt{3x + 1} \]
Делим обе стороны на \( \frac{3}{2} \):
\[ 2 = \sqrt{3x + 1} \]
Теперь возведем обе стороны в квадрат:
\[ 4 = 3x + 1 \]
Отсюда:
\[ 3x = 4 - 1 \] \[ 3x = 3 \quad \Rightarrow \quad x = 1 \]
- Найдите значение функции в точке касания \( x = 1 \):
\[ f(1) = \sqrt{3 \cdot 1 + 1} = \sqrt{4} = 2 \]
Мы нашли точку касания: \( (1, 2) \).
- Составьте уравнение касательной:
Касательная имеет вид:
\[ y - y_0 = m(x - x_0) \]
Подставляем \( m = \frac{3}{4} \), \( (x_0, y_0) = (1, 2) \):
\[ y - 2 = \frac{3}{4}(x - 1) \]
Упрощаем:
\[ y - 2 = \frac{3}{4}x - \frac{3}{4} \] \[ y = \frac{3}{4}x + 2 - \frac{3}{4} \] \[ y = \frac{3}{4}x + \frac{8}{4} - \frac{3}{4} \] \[ y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} \]
Таким образом, уравнение касательной к графику функции \( f(x) = \sqrt{3x + 1} \), параллельной прямой \( y = \frac{3}{4}x + 1 \), подведено к ответу:
\[ y = \frac{3}{4}x + \frac{5}{4} \]
