На вопрос о возрасте одна дама ответила, что если его возвести в квадрат или умножить на 53 и из результата вычесть 696, то получиться одно и то же число. Каков возраст дамы?

Обозначим возраст дамы как \( x \). По условию задачи можем записать уравнение:

\[ x^2 - 696 = 53x \]

Перепишем его в стандартной форме:

\[ x^2 - 53x - 696 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью формулы корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1 \), \( b = -53 \), \( c = -696 \).

Сначала найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-53)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-696) = 2809 + 2784 = 5593 \]

Теперь найдём корни:

\[ x = \frac{53 \pm \sqrt{5593}}{2} \]

Вычислим \( \sqrt{5593} \):

\[ \sqrt{5593} \approx 74.7 \]

Теперь подставим это значение в формулу:

\[ x \approx \frac{53 \pm 74.7}{2} \]

Находим два возможных значения:

1. \( x_1 \approx \frac{53 + 74.7}{2} = \frac{127.7}{2} \approx 63.85 \)
2. \( x_2 \approx \frac{53 - 74.7}{2} = \frac{-21.7}{2} \approx -10.85 \)

Так как возраст не может быть отрицательным, принимаем только положительное значение:

Возраст дамы примерно равен 64 года.