Дан треугольник ABC. На продолжении сторон AB и BC за вершину B отмечены точки K и М соответственно. Угол КВМ = 30° Угол А в 3 раза больше угла С. Найти угол, смежный с углом C.

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами углов в треугольниках и отношением углов, указанным в условии.

Итак, обозначим угол \( C \) как \( x \). Тогда угол \( A \) будет равен \( 3x \) (по условию задачи). Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам, следовательно:

\[ A + B + C = 180^\circ \]

Подставляем известные значения:

\[ 3x + B + x = 180^\circ \]

Это упрощается до:

\[ 4x + B = 180^\circ \]

Таким образом, мы можем выразить угол \( B \):

\[ B = 180^\circ - 4x \]

Теперь рассмотрим угол \( KBC \). Угол \( KBC \) является внешним для треугольника \( ABC \) и равен сумме углов \( A \) и \( C \):

\[ KBC = A + C = 3x + x = 4x \]

У нас также есть угол \( KBM \), который равен \( 30^\circ \), поэтому можно записать уравнение:

\[ KBC = KBM + B \]

Таким образом:

\[ 4x = 30^\circ + B \]

Теперь подставляем выражение для угла \( B \):

\[ 4x = 30^\circ + (180^\circ - 4x) \]

Упрощаем уравнение:

\[ 4x = 30^\circ + 180^\circ - 4x \] \[ 4x + 4x = 210^\circ \] \[ 8x = 210^\circ \] \[ x = \frac{210^\circ}{8} = 26.25^\circ \]

Таким образом, угол \( C \) равен \( 26.25^\circ \). Для нахождения угла, смежного с углом \( C \), необходимо вычесть угол \( C \) из 180 градусов:

\[ C_{сосед} = 180^\circ - C = 180^\circ - 26.25^\circ = 153.75^\circ \]

Таким образом, угол, смежный с углом \( C \), равен \( 153.75^\circ \).