. Вычислите: arcetg/3 + arcetg(-1) - arcctg(- 3 A) 21 12 5л (

Чтобы вычислить выражение \(\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \arctan(-1) - \arccot(-3)\), начнем с того, что определим каждую из функций.

1. \(\arctan(-1)\): Это угловая функция, которая равна \(-\frac{\pi}{4}\) или \(-45^\circ\), так как тангенс этого угла равен -1.

2. \(\arccot(-3)\): Для нахождения этого значения можно использовать связь между арккотангенсом и арктангенсом: \[ \arccot(x) = \frac{\pi}{2} - \arctan(x) \] В данном случае, \(x = -3\): \[ \arccot(-3) = \frac{\pi}{2} - \arctan(-3) = \frac{\pi}{2} + \arctan(3) \]

3. \(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\): Мы оставим это значение как \(\arctan\left(\frac{1}{3}\right)\), не изменяя его.

Теперь подставим эти значения в изначальное выражение: \[ \arctan\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{2} + \arctan(3) \right) \]

Объединим элементы: \[ = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{2} - \arctan(3) \] Заменим \(-\frac{\pi}{2}\) как \(-\frac{2\pi}{4}\): \[ = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{\pi}{4} - \frac{2\pi}{4} - \arctan(3) \] \[ = \arctan\left(\frac{1}{3}\right) - \frac{3\pi}{4} - \arctan(3) \]

Далее воспользуемся формулой для суммы арктангенсов. Поскольку \(\arctan\left(\frac{1}{3}\right) + \arctan(3) = \frac{\pi}{2}\), подставим это в уравнение: \[ = \frac{\pi}{2} - \frac{3\pi}{4} = \frac{\pi}{2} - \frac{6\pi}{8} = \frac{4\pi}{8} - \frac{6\pi}{8} = -\frac{2\pi}{8} = -\frac{\pi}{4} \]

Таким образом, окончательный ответ: \[ -\frac{\pi}{4} \]