4х²-12x+9=0

Чтобы решить квадратное уравнение \(4x^2 - 12x + 9 = 0\), можем воспользоваться формулой дискриминанта или выделением полного квадрата. Давайте рассмотрим оба подхода.

1. Использование дискриминанта:

Сначала определим коэффициенты:

• \(a = 4\)
• \(b = -12\)
• \(c = 9\)

Теперь вычислим дискриминант \(D\) по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \]

Подставим значения: \[ D = (-12)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 9 \] \[ D = 144 - 144 = 0 \]

Так как дискриминант равен нулю, это указывает на то, что уравнение имеет один корень (дублирующиеся корни).

Теперь найдем корень: \[ x = \frac{-b}{2a} \]

Подставим значения: \[ x = \frac{12}{2 \cdot 4} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} \]

Итак, единственный корень уравнения \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) равен \(x = \frac{3}{2}\).

2. Выделение полного квадрата:

Посмотрим на уравнение: \[ 4x^2 - 12x + 9 \]

Можно выразить его через полный квадрат: \[ 4(x^2 - 3x) + 9 = 0 \]

Теперь выделим полный квадрат: \[ 4\left(x^2 - 3x + \left(\frac{3}{2}\right)^2 - \left(\frac{3}{2}\right)^2\right) + 9 = 0 \] \[ 4\left((x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) + 9 = 0 \] \[ 4(x - \frac{3}{2})^2 - 9 + 9 = 0 \] \[ 4(x - \frac{3}{2})^2 = 0 \]

Теперь решим: \[ (x - \frac{3}{2})^2 = 0 \] \[ x - \frac{3}{2} = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \]

Таким образом, решением уравнения \(4x^2 - 12x + 9 = 0\) является единственный корень: \(x = \frac{3}{2}\).