1 угол прямоугольного треугольника равен 60 °а сумма меньшего катета равен 45 см определи длину меньшего катета

Для решения задачи сначала рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из углов равен 60°. В этом треугольнике угол при прямом угле составляет 90°, а оставшийся угол будет равен 30° (90° - 60°).

В этом треугольнике мы можем использовать соотношения между сторонами. Обозначим меньший катет как \( a \), а больший катет как \( b \). По свойствам прямоугольных треугольников, если один угол равен 60°, то:

\[ \frac{a}{b} = \tan(60°) = \sqrt{3} \]

Также, известно, что сумма катетов равна 45 см:

\[ a + b = 45 \]

Теперь воспользуемся выражением для \( b \):

\[ b = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

Подставим это значение в уравнение суммы катетов:

\[ a + \frac{a}{\sqrt{3}} = 45 \]

Теперь найдем общий знаменатель:

\[ a\sqrt{3} + a = 45\sqrt{3} \]

Сгруппируем \( a \):

\[ a(\sqrt{3} + 1) = 45\sqrt{3} \]

Теперь решим для \( a \):

\[ a = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 1} \]

Чтобы упростить это выражение, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение \( \sqrt{3} - 1 \):

\[ a = \frac{45\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} \]

Знаменатель упрощается до \( 3 - 1 = 2 \):

\[ a = \frac{45\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1)}{2} = \frac{45(3 - \sqrt{3})}{2} = \frac{135 - 45\sqrt{3}}{2} \]

Теперь можно подставить числовые значения \( \sqrt{3} \approx 1.73 \):

\[ 45\sqrt{3} \approx 77.85 \]

Найдём меньший катет \( a \):

Примерно, \( a \approx \frac{135 - 77.85}{2} = \frac{57.15}{2} \approx 28.575 \) см.

Таким образом, длина меньшего катета составляет примерно 28.6 см.