1 из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 °,а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см. определи длину меньшего катета

Рассмотрим прямоугольный треугольник, в котором один из острых углов равен 60°. Обозначим меньший катет как \( a \), больший катет как \( b \), а гипотенузу как \( c \). В данном случае мы знаем, что сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см, то есть:

\[ a + c = 45 \quad (1) \]

В прямоугольном треугольнике с углом 60° можно использовать соотношения тригонометрии:

• Синус и косинус угла 60°:
  • \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \)
  • \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \)

Из тригонометрических функций мы можем выразить катеты через гипотенузу \( c \):

• Меньший катет (противоположный углу 60°): \[ a = c \cdot \sin(60°) = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

• Больший катет (прилежащий к углу 60°): \[ b = c \cdot \cos(60°) = c \cdot \frac{1}{2} \]

Теперь подставим \( a \) из выражения через \( c \) в уравнение (1):

\[ c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + c = 45 \]

Сложим обе части уравнения:

\[ c \cdot \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \right) = 45 \]

Теперь выразим \( c \):

\[ c = \frac{45}{\frac{\sqrt{3}}{2} + 1} \]

Упрощая, умножим на 2:

\[ c = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \]

Теперь, чтобы найти \( a \):

Подставим \( c \) обратно в выражение для \( a \):

\[ a = c \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{90}{\sqrt{3} + 2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{45\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} \]

Теперь вы можете вычислить длину меньшего катета \( a \). В результате получится:

\[ a \approx 25.98 \text{ см} \]

Таким образом, длина меньшего катета приблизительно равна 25.98 см.