1 из острых углов прямоугольного треугольника равен 60 °,а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см.определи длину меньшего катета

Чтобы найти длину меньшего катета прямоугольного треугольника, где один из острых углов равен 60°, а сумма меньшего катета и гипотенузы равна 45 см, давайте начнем с обозначения нужных частей треугольника.

Обозначим:

• меньший катет как \( a \),
• больший катет как \( b \),
• гипотенузу как \( c \).

По условию, мы знаем, что \( a + c = 45 \) см.

Так как в прямоугольном треугольнике сумма углов составляет 180°, и один угол равен 90°, то второй острый угол будет равен \( 30° \) (так как \( 180° - 90° - 60° = 30° \)). Теперь мы можем использовать тригонометрию для поиска соотношений между сторонами.

Согласно определениям тригонометрических функций, в данном случае у нас есть:

• \( \sin(60°) = \frac{a}{c} \),
• \( \cos(60°) = \frac{b}{c} \).

Зная, что \( \sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \) и \( \cos(60°) = \frac{1}{2} \), можно записать:

\[ \frac{a}{c} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies a = \frac{\sqrt{3}}{2} c. \]

Теперь подставим \( c \) из первого уравнения \( c = 45 - a \):

\[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} (45 - a). \]

Раскроем скобки:

\[ a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 45 - \frac{\sqrt{3}}{2} a. \]

Соберем все \( a \) на одной стороне:

\[ a + \frac{\sqrt{3}}{2} a = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 45. \]

Факторизуем:

\[ a \left(1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 45. \]

Теперь вычислим \( 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \):

\[ 1 + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}. \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ a \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 45. \]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ a (2 + \sqrt{3}) = 45\sqrt{3}. \]

Теперь найдем \( a \):

\[ a = \frac{45\sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}}. \]

Для упрощения выражения умножим числитель и знаменатель на \( 2 - \sqrt{3} \) (сопряженное выражение):

\[ a = \frac{45\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{45\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 45\sqrt{3}(2 - \sqrt{3}). \]

Теперь можем вычислить значение этого выражения, используя приближенное значение \( \sqrt{3} \approx 1.732 \):

\[ a \approx 45 \cdot 1.732 \cdot (2 - 1.732) \approx 45 \cdot 1.732 \cdot 0.268 \approx 45 \cdot 0.464 = 20.88 \text{ см}. \]

Таким образом, длина меньшего катета приблизительно равна 20.88 см.