2.1. Решите систему неравенств: {-2x-15 <0 {Х²-2х -15 <0 2.2. Решите биквадратное уравнение: 4x²+3x²-1-0 [3] 2.3 Решите задачу с помощью дробно-рационального уравнения: Пароход…
2.1. Решите систему неравенств: {-2x-15 <0 {Х²-2х -15 <0 2.2. Решите биквадратное уравнение: 4x²+3x²-1-0 [3] 2.3 Решите задачу с помощью дробно-рационального уравнения: Пароход прошёл 60 км по течению реки и затем обратно, затратив на весь путь 8 часов. ТребуетсяОпределить собственную скорость парохода, если скорость течения реки 4км/ч
Конечно! Давайте разберем каждую задачу по порядку.
2.1. Решите систему неравенств:
Рассмотрим систему:
\(-2x - 15 < 0\)
\(x^2 - 2x - 15 < 0\)
Первое неравенство:
\(-2x - 15 < 0\)
Переносим 15:
\(-2x < 15\)
Делим обе стороны на -2 (не забываем сменить знак неравенства):
\[ x > -\frac{15}{2} \] \[ x > -7.5 \]
Второе неравенство:
\(x^2 - 2x - 15 < 0\)
Сначала найдем корни соответствующего уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\) с помощью дискриминанта:
\(D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64\)
Корни:
\[ x_1 = \frac{2 + \sqrt{64}}{2} = \frac{2 + 8}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{2 - \sqrt{64}}{2} = \frac{2 - 8}{2} = -3 \]
Теперь исследуем знак функции \(x^2 - 2x - 15\) на интервалах: \((-∞, -3)\), \((-3, 5)\), \((5, +∞)\).
- Для \(x < -3\) (например, \(x = -4\)): \((-4)^2 - 2(-4) - 15 > 0\)
- Для \(-3 < x < 5\) (например, \(x = 0\)): \(0^2 - 2(0) - 15 < 0\)
- Для \(x > 5\) (например, \(x = 6\)): \(6^2 - 2(6) - 15 > 0\)
Таким образом, неравенство \(x^2 - 2x - 15 < 0\) выполняется на интервале \((-3, 5)\).
Итог решения системы:
\(x > -7.5\) и \(-3 < x < 5\).
Пересекаем эти условия: \(-3 < x < 5\) (так как данный интервал полностью содержится в \(x > -7.5\)).
2.2. Решите биквадратное уравнение:
Уравнение имеет вид: \[ 4x^2 + 3x^2 - 1 = 0 \] Объединяя похожие член:
\[ 7x^2 - 1 = 0 \]
Решим его:
\[ 7x^2 = 1 \]
\[ x^2 = \frac{1}{7} \]
Теперь найдём \(x\):
\[ x = \pm \sqrt{\frac{1}{7}} = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{7} \]
2.3. Задача с дробно-рациональным уравнением:
Пусть \(v\) — собственная скорость парохода. Тогда по течению его скорость будет \(v + 4\) км/ч, а против течения \(v - 4\) км/ч.
Сначала найдем время, которое пароход затратил на путь по течению и обратно. Формула для времени:
\[ t = \frac{s}{v} \]
Время на пути по течению \(t_1\): \[ t_1 = \frac{60}{v + 4} \]
Время на пути против течения \(t_2\): \[ t_2 = \frac{60}{v - 4} \]
Суммируем время, получаем уравнение:
\[ \frac{60}{v + 4} + \frac{60}{v - 4} = 8 \]
Умножим уравнение на \( (v + 4)(v - 4) \) для удаления дробей:
\[ 60(v - 4) + 60(v + 4) = 8(v^2 - 16) \]
Раскроем скобки:
\[ 60v - 240 + 60v + 240 = 8v^2 - 128 \]
Сложим подобные:
\[ 120v = 8v^2 - 128 \]
Переносим все в одно уравнение:
\[ 8v^2 - 120v - 128 = 0 \]
Упрощаем на 8:
\[ v^2 - 15v - 16 = 0 \]
Находим корни с помощью дискриминанта:
\(D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\)
Корни:
\[ v_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = 16 \] \[ v_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = -1 \]
Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость парохода \(v = 16\) км/ч.
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с чем-то ещё, не стесняйтесь спрашивать!
