4. В прямоугольной трапеции большая боковая сторона равна 12, а меньшее основание 8. Найдите большее основание, если один из углов трапеции равен 60°.

Чтобы решить задачу, давайте начнём с того, что обозначим нужные элементы трапеции. Пусть \( AB \) и \( CD \) — основания трапеции, где \( AB \) — большее основание, а \( CD \) — меньшее основание. Исходя из условий, мы знаем, что \( CD = 8 \) и одна из боковых сторон, например \( AD \), равна \( 12 \).

Также нам дан угол \( \angle DAB = 60^\circ \). Для решения задачи мы можем воспользоваться тригонометрией.

1. Определим высоту трапеции \( h \) из треугольника \( DAB \): \[ h = AD \cdot \sin(60^\circ) = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}. \]

2. Далее найдём основание \( AB \) с использованием теоремы о косинусах в треугольнике \( DAB \): \[ DB = AD \cdot \cos(60^\circ) = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6. \]

3. Теперь мы можем записать соотношение между основаниями трапеции и боковой стороной: \[ AB = CD + 2 \cdot DB = 8 + 2 \cdot 6 = 8 + 12 = 20. \]

Таким образом, большее основание трапеции \( AB \) равно \( 20 \).