{х²-2х-15≤0
Для решения неравенства \(x^2 - 2x - 15 \leq 0\) сначала преобразуем его в уравнение для поиска корней.
Найдем корни уравнения \(x^2 - 2x - 15 = 0\) с помощью формулы корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Здесь \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -15\).
Подставим значения: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 60}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 8}{2} \]
Таким образом, мы получаем два корня: \[ x_1 = \frac{10}{2} = 5 \] \[ x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \]
Теперь у нас есть корни \(x_1 = 5\) и \(x_2 = -3\). Чтобы решить неравенство, необходимо определить знаки выражения \(x^2 - 2x - 15\) на промежутках, разделенных корнями: \((-∞, -3)\), \((-3, 5)\) и \((5, +∞)\).
Выберем тестовые точки из каждого интервала:
Для \(x = -4\) (интервал \((-∞, -3)\)): \[ (-4)^2 - 2(-4) - 15 = 16 + 8 - 15 = 9 \quad (\text{положительное}) \]
Для \(x = 0\) (интервал \((-3, 5)\)): \[ 0^2 - 2(0) - 15 = -15 \quad (\text{отрицательное}) \]
Для \(x = 6\) (интервал \((5, +∞)\)): \[ 6^2 - 2(6) - 15 = 36 - 12 - 15 = 9 \quad (\text{положительное}) \]
Из анализа знаков видим, что неравенство \(x^2 - 2x - 15 \leq 0\) выполняется в интервале \([-3, 5]\).
Таким образом, полное решение неравенства: \[ x \in [-3, 5] \]
