докажите, что для любого натурального числа K число k⁵-k кратно 5

Чтобы доказать, что для любого натурального числа \( k \) число \( k^5 - k \) кратно 5, рассмотрим выражение \( k^5 - k \).

Мы можем упростить это выражение:

\[ k^5 - k = k(k^4 - 1) = k(k^2 - 1)(k^2 + 1) \]

Теперь мы можем использовать теорему о вычетах по модулю 5. Мы рассмотрим возможные значения \( k \) по модулю 5. То есть, \( k \) может принимать значения 0, 1, 2, 3 или 4 (модуль 5).

1. Если \( k \equiv 0 \mod 5 \): \[ k^5 - k \equiv 0 - 0 \equiv 0 \mod 5 \]

2. Если \( k \equiv 1 \mod 5 \): \[ k^5 - k \equiv 1^5 - 1 \equiv 1 - 1 \equiv 0 \mod 5 \]

3. Если \( k \equiv 2 \mod 5 \): \[ k^5 - k \equiv 2^5 - 2 \equiv 32 - 2 \equiv 30 \equiv 0 \mod 5 \]

4. Если \( k \equiv 3 \mod 5 \): \[ k^5 - k \equiv 3^5 - 3 \equiv 243 - 3 \equiv 240 \equiv 0 \mod 5 \]

5. Если \( k \equiv 4 \mod 5 \): \[ k^5 - k \equiv 4^5 - 4 \equiv 1024 - 4 \equiv 1020 \equiv 0 \mod 5 \]

Во всех случаях, независимо от значения \( k \) по модулю 5, выражение \( k^5 - k \) кратно 5.

Таким образом, мы убедились, что для любого натурального числа \( k \) число \( k^5 - k \) действительно кратно 5.