Докажите неравенство (4p-1) (p+1) -(p-3) (p+3) >3(p^2+p)

Давайте решим неравенство:

\[ (4p - 1)(p + 1) - (p - 3)(p + 3) > 3(p^2 + p). \]

Сначала раскроем скобки с обеих сторон:

1. \((4p - 1)(p + 1) = 4p^2 + 4p - p - 1 = 4p^2 + 3p - 1.\)
2. \((p - 3)(p + 3) = p^2 - 9.\)

Теперь подставим эти результаты в неравенство:

\[ (4p^2 + 3p - 1) - (p^2 - 9) > 3(p^2 + p). \]

Упростим левую часть:

\[ 4p^2 + 3p - 1 - p^2 + 9 > 3(p^2 + p). \]

Это упрощается до:

\[ 3p^2 + 3p + 8 > 3(p^2 + p). \]

Теперь раскроем правую часть:

\[ 3p^2 + 3p + 8 > 3p^2 + 3p. \]

Теперь вычтем \(3p^2 + 3p\) с обеих сторон:

\[ 8 > 0. \]

Это неравенство всегда истинно, означает, что неравенство выполняется для любого значения \(p\).

Таким образом, ответ: неравенство выполняется для всех \(p\) и всегда истинно.