(х²-10х)(х²-49)>0

Чтобы решить неравенство (x² - 10x)(x² - 49) > 0, начнем с нахождения корней каждого множителя.

1. Найдем корни первого множителя: x² - 10x = 0
   x(x - 10) = 0
   Корни: x = 0 и x = 10.

2. Найдем корни второго множителя: x² - 49 = 0
   (x - 7)(x + 7) = 0
   Корни: x = 7 и x = -7.

Теперь у нас есть четыре корня: x = -7, x = 0, x = 7 и x = 10. Мы будем использовать эти корни для определения знаков выражения на интервалах, образованных корнями.

3. Определим интервалы:

   • (-∞, -7)
   • (-7, 0)
   • (0, 7)
   • (7, 10)
   • (10, +∞)

4. Проверим знак на каждом интервале:

• Для интервала (-∞, -7): возьмем, например, x = -8.
  (-8)² - 10(-8) = 64 + 80 = 144 (положительное);
  (-8)² - 49 = 64 - 49 = 15 (положительное);
  (положительное) * (положительное) > 0.

• Для интервала (-7, 0): возьмем, например, x = -1.
  (-1)² - 10(-1) = 1 + 10 = 11 (положительное);
  (-1)² - 49 = 1 - 49 = -48 (отрицательное);
  (положительное) * (отрицательное) < 0.

• Для интервала (0, 7): возьмем, например, x = 1.
  (1)² - 10(1) = 1 - 10 = -9 (отрицательное);
  (1)² - 49 = 1 - 49 = -48 (отрицательное);
  (отрицательное) * (отрицательное) > 0.

• Для интервала (7, 10): возьмем, например, x = 8.
  (8)² - 10(8) = 64 - 80 = -16 (отрицательное);
  (8)² - 49 = 64 - 49 = 15 (положительное);
  (отрицательное) * (положительное) < 0.

• Для интервала (10, +∞): возьмем, например, x = 11.
  (11)² - 10(11) = 121 - 110 = 11 (положительное);
  (11)² - 49 = 121 - 49 = 72 (положительное);
  (положительное) * (положительное) > 0.

5. Теперь подведем итог:

• Значение выражения положительно на интервалах: (-∞, -7) и (0, 7) и (10, +∞).
• Значение выражения отрицательно на интервалах: (-7, 0) и (7, 10).

Таким образом, неравенство (x² - 10x)(x² - 49) > 0 выполняется на интервалах: x ∈ (-∞, -7) ∪ (0, 7) ∪ (10, +∞).