(x/(x+1))'

Давайте решим производную функции \( f(x) = \frac{x}{x+1} \) с помощью правила деления.

Чтобы найти производную, будем использовать правило деления, которое гласит, что если у нас есть функция \( \frac{u}{v} \), то её производная вычисляется по формуле:

\[ \left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]

Где \( u = x \) и \( v = x + 1 \).

1. Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

   • \( u' = 1 \) (производная \( x \))
   • \( v' = 1 \) (производная \( x + 1 \))

2. Теперь подставим значения в формулу:

\[ f'(x) = \frac{(1)(x+1) - (x)(1)}{(x+1)^2} \]

3. Упрощаем числитель:

\[ f'(x) = \frac{x + 1 - x}{(x+1)^2} = \frac{1}{(x+1)^2} \]

Таким образом, производная функции \( f(x) = \frac{x}{x+1} \) равна:

\[ f'(x) = \frac{1}{(x+1)^2} \]

Если у вас есть дополнительные вопросы по теме производных или другим разделам математики, обращайтесь!