Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90° б) 60° в) 120° г) 108°.

Чтобы определить, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник с заданными углами, мы можем воспользоваться формулой для вычисления суммы внутренних углов многоугольника:

Сумма углов \( S \) многоугольника с \( n \) сторонами выражается формулой: \[ S = (n - 2) \times 180^\circ \]

Кроме того, если все углы равны (многоугольник равносторонний), то мы можем выразить сумму углов через размер одного угла: \[ S = n \times \text{угол} \]

Теперь давайте найдем количество сторон \( n \) для каждого из заданных углов:

а) \( 90^\circ \): \[ n \times 90^\circ = (n - 2) \times 180^\circ \] \[ 90n = 180n - 360 \] \[ 90n = 360 \] \[ n = 4 \] Таким образом, выпуклый многоугольник с углами по \( 90^\circ \) — это квадрат, который имеет 4 стороны.

б) \( 60^\circ \): \[ n \times 60^\circ = (n - 2) \times 180^\circ \] \[ 60n = 180n - 360 \] \[ 120n = 360 \] \[ n = 3 \] Означает, что выпуклый многоугольник с углами по \( 60^\circ \) — это равносторонний треугольник, имеющий 3 стороны.

в) \( 120^\circ \): \[ n \times 120^\circ = (n - 2) \times 180^\circ \] \[ 120n = 180n - 360 \] \[ 60n = 360 \] \[ n = 6 \] В этом случае выпуклый многоугольник с углами по \( 120^\circ \)— это равносторонний шестиугольник, который имеет 6 сторон.

г) \( 108^\circ \): \[ n \times 108^\circ = (n - 2) \times 180^\circ \] \[ 108n = 180n - 360 \] \[ 72n = 360 \] \[ n = 5 \] Итак, выпуклый многоугольник с углами по \( 108^\circ \) — это правильный пятиугольник, имеющий 5 сторон.

Таким образом, мы получили следующие результаты: а) 4 стороны (квадрат), б) 3 стороны (равносторонний треугольник), в) 6 сторон (равносторонний шестиугольник), г) 5 сторон (правильный пятиугольник).