4x⁴-4x²-5=0
Для решения уравнения \(4x^4 - 4x^2 - 5 = 0\) воспользуемся заменой переменной. Обозначим \(y = x^2\). Таким образом, уравнение можно переписать в виде:
\[4y^2 - 4y - 5 = 0.\]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]
где \(a = 4\), \(b = -4\) и \(c = -5\).
Теперь подставим значения в формулу:
- Находим дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-5) = 16 + 80 = 96. \]
- Подставляем значения в формулу корней:
\[ y = \frac{-(-4) \pm \sqrt{96}}{2 \cdot 4} = \frac{4 \pm \sqrt{96}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{6}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{6}}{2}. \]
Теперь у нас есть два значения для \(y\):
\[ y_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2}, \quad y_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}. \]
Так как мы делали замену \(y = x^2\), нам нужно найти \(x\):
- Для \(y_1\):
\[ x^2 = y_1 = \frac{1 + \sqrt{6}}{2} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1 + \sqrt{6}}{2}}. \]
- Для \(y_2\):
\[ x^2 = y_2 = \frac{1 - \sqrt{6}}{2}. \]
Но значение \(y_2\) отрицательно, так как \(\sqrt{6} \approx 2.45\), а значит \(\frac{1 - \sqrt{6}}{2} < 0\), и это значение не дает действительных корней.
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x = \pm \sqrt{\frac{1 + \sqrt{6}}{2}}. \]
Если у вас остались вопросы или потребность в дополнительных объяснениях, не стесняйтесь спрашивать!
