Точка дотику кола, вписаного в прямокутну тра- пецію, ділить більшу бічну сторону на відрізки 2 см і 8 см. Знайдіть площу трапеції.

Чтобы найти площадь трапеции, вписанной в круг, прежде всего, давайте обозначим известные параметры. У нас есть большая боковая сторона, которая делится точкой касания на два отрезка: 2 см и 8 см. Это значит, что вся большая боковая сторона равна \(2 \, \text{см} + 8 \, \text{см} = 10 \, \text{см}\).

Пусть меньшая боковая сторона равна \(a\), а большая - \(b = 10 \, \text{см}\). По свойству трапеции, которая вписана в круг, сумма длин ее оснований равна сумме длин ее боковых сторон: \[ a + b = 2h, \] где \(h\) - высота трапеции.

Так как \(b = 10 \, \text{см}\), мы можем выразить \(h\) через \(a\): \[ h = \frac{a + 10}{2}. \]

Площадь трапеции может быть найдена по формуле: \[ S = \frac{(a + b) \cdot h}{2}. \]

Подставляем \(b = 10 \, \text{см}\) и \(h\): \[ S = \frac{(a + 10) \cdot \frac{(a + 10)}{2}}{2} = \frac{(a + 10)^2}{4}. \]

Однако, нам нужно первое установить длину меньшей боковой стороны \(a\). Так как точка касания делит большую сторону на 2 см и 8 см, это свойство помогает нам определить, что меньшая боковая сторона равняется 2 см (по аналогии), из чего вытекает, что \(a = 2 \, \text{см}\).

Теперь подставим \(a\): \[ S = \frac{(2 + 10)^2}{4} = \frac{12^2}{4} = \frac{144}{4} = 36 \, \text{см}^2. \]

Следовательно, площадь трапеции равна \(36 \, \text{см}^2\).