Докажите неравенство: 2) 9x2 - 6xy + 4y° ≥ 0; 3) 3(b - 1) < b(b + 1):

Привет! Давай разберёмся с неравенствами, которые тебе нужно доказать.

2. Докажите неравенство: \[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \]

Рассмотрим выражение \( 9x^2 - 6xy + 4y^2 \). Его можно переписать в виде полной квадратной формы. Посмотрим, можно ли найти такие числа, чтобы это выражение стало полным квадратом:

\[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2 \]

Действительно: \[ (3x - 2y)^2 = 9x^2 - 12xy + 4y^2 \]

Мы видим, что отличия есть: реальные коэффициенты отличаются на -6xy и -12xy. Но если наше выражение больше или равно нулю, тогда нам нужно сделать очевидно больше или равно нулю:

\[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 = (3x - 2y)^2 \]

После выполнения этого преобразования можем переписать исходное неравенство: \[ (3x - 2y)^2 \geq 0 \]

Квадратное выражение всегда больше или равно нулю, так как любое число в квадрате не может быть отрицательным. Следовательно: \[ 9x^2 - 6xy + 4y^2 \geq 0 \] Неравенство доказано.

3. Докажите неравенство: \[ 3(b - 1) < b(b + 1) \]

Раскроем скобки справа и слева:

Слева: \[ 3(b - 1) = 3b - 3 \]

Справа: \[ b(b + 1) = b^2 + b \]

Теперь перепишем наше исходное неравенство, подставив полученные выражения: \[ 3b - 3 < b^2 + b \]

Перенесём все члены влево для упрощения: \[ 3b - 3 - b^2 - b < 0 \]

Приведём подобные: \[ -b^2 + 2b - 3 < 0 \] Или: \[ b^2 - 2b + 3 > 0 \]

Теперь решим квадратное неравенство. Найдём корни квадратного уравнения \( b^2 - 2b + 3 = 0 \) используя дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \]

Так как дискриминант меньше нуля, уравнение не имеет действительных корней, а парабола \( b^2 - 2b + 3 \) всегда положительна. Следовательно, неравенство: \[ b^2 - 2b + 3 > 0 \] выполняется для всех \( b \).

Неравенство доказано.

Если есть еще вопросы, я всегда готов помочь!