(x-5)^2(x-7)<0
Чтобы решить неравенство \((x-5)^2(x-7)<0\), начнём с нахождения нулей функции.
Найдем нули:
- \((x-5)^2 = 0\) при \(x = 5\) (это корень кратности 2).
- \((x-7) = 0\) при \(x = 7\) (это корень кратности 1).
Теперь у нас есть два корня: \(x = 5\) и \(x = 7\). Следующие шаги – определить промежутки, где функция или произведение будет меньше нуля.
Разделим числовую ось на интервалы с этими корнями:
- \((-\infty, 5)\)
- \((5, 7)\)
- \((7, +\infty)\)
Теперь выберем тестовые точки из каждого интервала и подставим их в неравенство \((x-5)^2(x-7)\):
Для интервала \((-\infty, 5)\) возьмём точку \(x = 0\): \[ (0 - 5)^2(0 - 7) = 25 \cdot (-7) = -175 < 0 \quad \text{(истина)} \]
Для интервала \((5, 7)\) возьмём точку \(x = 6\): \[ (6 - 5)^2(6 - 7) = 1 \cdot (-1) = -1 < 0 \quad \text{(истина)} \]
Для интервала \((7, +\infty)\) возьмём точку \(x = 8\): \[ (8 - 5)^2(8 - 7) = 9 \cdot 1 = 9 > 0 \quad \text{(ложь)} \]
Суммируя результаты:
- В интервале \((-\infty, 5)\) и в интервале \((5, 7)\) неравенство выполняется.
- В точках \(x = 5\) и \(x = 7\) значение равно нулю, поэтому они не входят в решение.
Таким образом, окончательный ответ: \[ (-\infty, 5) \cup (5, 7) \]
Неравенство \((x-5)^2(x-7)<0\) выполняется для значений \(x\) из интервалов \((-\infty, 5)\) и \((5, 7)\).
