4¹/⁷×14-1¹/⁴×1¹/⁶×1²/⁹×2⁵/⁸

Для решения выражения \(4^{1/7} \times 14 - 1^{1/4} \times 1^{1/6} \times 1^{2/9} \times 2^{5/8}\) давайте разберем каждую часть отдельно.

1. Первая часть: \(4^{1/7}\). \(4\) можно представить как \(2^2\), поэтому: \[ 4^{1/7} = (2^2)^{1/7} = 2^{2/7} \]

2. Вторая часть: \(14\) остается без изменений.

3. Умножаем \(2^{2/7}\) на \(14\): \[ 2^{2/7} \times 14 = 2^{2/7} \times (2 \times 7) = 2^{2/7 + 1} \times 7 = 2^{9/7} \times 7 \]

4. Теперь рассмотрим вторую часть \(1^{1/4} \times 1^{1/6} \times 1^{2/9}\). Если основание равно \(1\), независимо от степени, результат всегда будет \(1\): \[ 1^{1/4} \times 1^{1/6} \times 1^{2/9} = 1 \]

5. Последняя часть \(2^{5/8}\) остается без изменений.

Теперь у нас есть общая форма для второго выражения: \[ 1 \times 2^{5/8} = 2^{5/8} \]

Таким образом, вся выражение можно записать следующим образом: \[ 2^{9/7} \times 7 - 2^{5/8} \]

Для дальнейшего упрощения выражения нужно привести дроби к общему основанию, если это возможно, или оставить в полученной форме. В данном случае окончательный ответ остается: \[ 2^{9/7} \times 7 - 2^{5/8} \]

Это выражение и можно считать финальным результатом.