xy=1/8 2x²+2y²=5/8
Давайте рассмотрим систему уравнений, которую вы предоставили:
- \(xy = \frac{1}{8}\)
- \(2x^2 + 2y^2 = \frac{5}{8}\)
Сначала упростим второе уравнение. Мы можем разделить его на 2:
\[ x^2 + y^2 = \frac{5}{16} \]
Теперь у нас есть два уравнения:
- \(xy = \frac{1}{8}\)
- \(x^2 + y^2 = \frac{5}{16}\)
Для решения этой системы вам нужно выразить одно из переменных (например, \(y\)) через \(x\) из первого уравнения:
\[ y = \frac{1}{8x} \]
Теперь подставим это значение \(y\) во второе уравнение:
\[ x^2 + \left(\frac{1}{8x}\right)^2 = \frac{5}{16} \]
Упрощаем:
\[ x^2 + \frac{1}{64x^2} = \frac{5}{16} \]
Умножим все уравнение на \(64x^2\), чтобы избавиться от дробей:
\[ 64x^4 + 1 = 5 \cdot 4x^2 \]
Это приводит нас к уравнению:
\[ 64x^4 - 20x^2 + 1 = 0 \]
Теперь сделаем замену \(z = x^2\), что позволяет нам получить квадратное уравнение:
\[ 64z^2 - 20z + 1 = 0 \]
Для нахождения корней этого квадратного уравнения используем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = (-20)^2 - 4 \cdot 64 \cdot 1 = 400 - 256 = 144 \]
Поскольку дискриминант положительный, это значит, что у уравнения два различных корня. Находим корни по формуле:
\[ z_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 \pm 12}{128} \]
Таким образом, у нас получится:
\[ z_1 = \frac{32}{128} = \frac{1}{4}, \quad z_2 = \frac{8}{128} = \frac{1}{16} \]
Теперь возвращаемся к \(x^2\):
\[ x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \frac{1}{2} \text{ или } x = -\frac{1}{2} \] \[ x^2 = \frac{1}{16} \Rightarrow x = \frac{1}{4} \text{ или } x = -\frac{1}{4} \]
Теперь, используя найденные значения \(x\), мы можем найти соответствующие значения \(y\):
Если \(x = \frac{1}{2}\): \[ y = \frac{1}{8 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{4} \]
Если \(x = -\frac{1}{2}\): \[ y = \frac{1}{8 \cdot -\frac{1}{2}} = -\frac{1}{4} \]
Если \(x = \frac{1}{4}\): \[ y = \frac{1}{8 \cdot \frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \]
Если \(x = -\frac{1}{4}\): \[ y = \frac{1}{8 \cdot -\frac{1}{4}} = -\frac{1}{2} \]
В результате у вас есть пары решений: \[ \left( \frac{1}{2}, \frac{1}{4} \right), \left( -\frac{1}{2}, -\frac{1}{4} \right), \left( \frac{1}{4}, \frac{1}{2} \right), \left( -\frac{1}{4}, -\frac{1}{2} \right). \]
Вы можете проверить каждую пару, чтобы убедиться, что они удовлетворяют обоим уравнениям. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их!
