найти наименьшее значение функции x^3/3-3x-7 на отрезке [-5;2]

Чтобы найти наименьшее значение функции \( f(x) = \frac{x^3}{3} - 3x - 7 \) на отрезке \([-5; 2]\), нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем производную функции. Производная поможет определить критические точки, где функция может достигать экстремумов (минимумов или максимумов).

   \[ f'(x) = x^2 - 3 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

   \[ x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 3 \implies x = \sqrt{3} \text{ или } x = -\sqrt{3} \]

   Значения \(\sqrt{3} \approx 1.73\) и \(-\sqrt{3} \approx -1.73\) попадают в наш отрезок \([-5, 2]\), поэтому их следует рассмотреть.

3. Теперь оценим значения функции в критических точках и на границах отрезка:

   • На границах отрезка:

     • \( f(-5) = \frac{(-5)^3}{3} - 3 \cdot (-5) - 7 = \frac{-125}{3} + 15 - 7 = \frac{-125 + 45 - 21}{3} = \frac{-101}{3} \approx -33.67 \)
     • \( f(2) = \frac{(2)^3}{3} - 3 \cdot (2) - 7 = \frac{8}{3} - 6 - 7 = \frac{8 - 18 - 21}{3} = \frac{-31}{3} \approx -10.33 \)

   • В критических точках:

     • \( f(-\sqrt{3}) = \frac{(-\sqrt{3})^3}{3} - 3(-\sqrt{3}) - 7 = \frac{-3\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - 7 = -\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 7 = 2\sqrt{3} - 7 \approx 2 \cdot 1.73 - 7 \approx 3.46 - 7 = -3.54 \)
     • \( f(\sqrt{3}) = \frac{(\sqrt{3})^3}{3} - 3(\sqrt{3}) - 7 = \frac{3\sqrt{3}}{3} - 3\sqrt{3} - 7 = \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 7 = -2\sqrt{3} - 7 \approx -3.46 - 7 = -10.46 \)

4. Сравним все полученные значения:

   • \( f(-5) \approx -33.67 \)
   • \( f(2) \approx -10.33 \)
   • \( f(-\sqrt{3}) \approx -3.54 \)
   • \( f(\sqrt{3}) \approx -10.46 \)

Наименьшее значение функции на отрезке \([-5, 2]\) достигается при \( x = -5 \), и оно равно \(-\frac{101}{3} \approx -33.67\).

Таким образом, наименьшее значение функции \( f(x) \) на заданном отрезке равно \(-\frac{101}{3}\).