9⁵27⁸/81⁹

Чтобы решить выражение \( \frac{9^5 \cdot 27^8}{81^9} \), сначала упростим каждую из величин, представив их как степени основания 3.

1. \( 9 = 3^2 \), следовательно: \[ 9^5 = (3^2)^5 = 3^{10} \]

2. \( 27 = 3^3 \), соответственно: \[ 27^8 = (3^3)^8 = 3^{24} \]

3. \( 81 = 3^4 \), тогда: \[ 81^9 = (3^4)^9 = 3^{36} \]

Теперь подставим все эти значения в исходное выражение: \[ \frac{9^5 \cdot 27^8}{81^9} = \frac{3^{10} \cdot 3^{24}}{3^{36}} \]

Теперь воспользуемся свойствами степеней. При умножении оснований мы складываем степени: \[ 3^{10} \cdot 3^{24} = 3^{10 + 24} = 3^{34} \]

Теперь выражение становится: \[ \frac{3^{34}}{3^{36}} = 3^{34 - 36} = 3^{-2} \]

Таким образом, мы можем записать \( 3^{-2} \) как: \[ \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9} \]

Итак, окончательный ответ: \[ \frac{9^5 \cdot 27^8}{81^9} = \frac{1}{9} \]