Х²+9/4х²-1<0 х²/х-2≥0 х-2/х2+2х-8>0
Чтобы решить систему неравенств, давайте рассмотрим каждое из них по отдельности.
Первое неравенство: \( \frac{x^2 + 9}{4x^2 - 1} < 0 \)
Для того чтобы дробь была отрицательной, числитель должен быть положителен, а знаменатель отрицателен, или наоборот.
- Числитель: \( x^2 + 9 \) всегда положителен, так как \( x^2 \geq 0 \) для всех \( x \) и \( 9 > 0 \).
- Знаменатель: \( 4x^2 - 1 < 0 \) дает неравенство \( 4x^2 < 1 \) или \( x^2 < \frac{1}{4} \). Это значит \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \).
Таким образом, решение первого неравенства: \[ -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \]
Второе неравенство: \( \frac{x^2}{x - 2} \geq 0 \)
Здесь, чтобы дробь была неотрицательной, мы проверим знаки числителя и знаменателя:
- Числитель: \( x^2 \geq 0 \) также всегда неотрицателен.
- Знаменатель: \( x - 2 > 0 \) даёт \( x > 2 \).
Из этого следует, что для \( x = 2 \) дробь не определена.
Таким образом, решение второго неравенства: \[ x \geq 2 \]
Третье неравенство: \( \frac{x - 2}{x^2 + 2x - 8} > 0 \)
Для этого неравенства сначала найдем нули числителя и знаменателя:
- Числитель: \( x - 2 = 0 \) даёт \( x = 2 \).
- Знаменатель: Разложим: \( x^2 + 2x - 8 = (x - 2)(x + 4) \). Нули знаменателя: \( x = 2 \) и \( x = -4 \).
Теперь анализируем знаки на интервалах, полученных из точек \( -4 \) и \( 2 \):
- Для \( x < -4 \): оба выражения отрицательны, следовательно и дробь положительна.
- Для \( -4 < x < 2 \): числитель отрицателен, а знаменатель положителен, значит дробь отрицательна.
- Для \( x > 2 \): числитель положителен, а знаменатель положителен, дробь положительна.
Таким образом, решение третьего неравенства: \[ (-\infty, -4) \cup (2, +\infty) \]
Теперь соберем все найденные решения в систему:
- \( -\frac{1}{2} < x < \frac{1}{2} \)
- \( x \geq 2 \)
- \( (-\infty, -4) \cup (2, +\infty) \)
Объединив, получаем: \( x \) может принимать значения только из интервала \( (2, +\infty) \).
Таким образом, итоговое решение: \[ x \in (2, +\infty) \]
