Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол которого равен: а) 90°; б) 60°; в) 120°; г) 108°?
Давайте разберем, сколько сторон имеет выпуклый многоугольник с заданными углами.
Формула для нахождения суммы внутренних углов выпуклого многоугольника с \( n \) сторонами выглядит так:
\[ S = (n - 2) \times 180° \]
Где \( S \) — сумма внутренних углов.
Также, зная, что каждый угол равен одинаковому значению \( x \), можем записать следующее уравнение:
\[ n \times x = (n - 2) \times 180° \]
Теперь решим для каждого из заданных углов:
а) Для угла \( 90° \):
\[ n \times 90° = (n - 2) \times 180° \]
Раскроем скобки и преобразуем уравнение:
\[ 90n = 180n - 360 \]
\[ 90n - 180n = -360 \]
\[ -90n = -360 \]
\[ n = 4 \]
Выпуклый многоугольник с углами по \( 90° \) — это квадрат (четырехугольник).
б) Для угла \( 60° \):
\[ n \times 60° = (n - 2) \times 180° \]
Раскроем скобки:
\[ 60n = 180n - 360 \]
\[ 60n - 180n = -360 \]
\[ -120n = -360 \]
\[ n = 3 \]
Выпуклый многоугольник с углами по \( 60° \) — это равносторонний треугольник.
в) Для угла \( 120° \):
\[ n \times 120° = (n - 2) \times 180° \]
Раскроем скобки:
\[ 120n = 180n - 360 \]
\[ 120n - 180n = -360 \]
\[ -60n = -360 \]
\[ n = 6 \]
Выпуклый многоугольник с углами по \( 120° \) — это правильный шестиугольник.
г) Для угла \( 108° \):
\[ n \times 108° = (n - 2) \times 180° \]
Раскроем скобки:
\[ 108n = 180n - 360 \]
\[ 108n - 180n = -360 \]
\[ -72n = -360 \]
\[ n = 5 \]
Выпуклый многоугольник с углами по \( 108° \) — это правильный пятиугольник.
Таким образом, у нас получились следующие результаты:
- 90° — 4 стороны (квадрат),
- 60° — 3 стороны (равносторонний треугольник),
- 120° — 6 сторон (правильный шестиугольник),
- 108° — 5 сторон (правильный пятиугольник).
