При каком значении р уравнение 6х²-12х+р=0 имеет корни х1 и х2 удовлетворяющие условие х2=5х1

Чтобы решить уравнение \(6x^2 - 12x + p = 0\) с условием, что \(x_2 = 5x_1\), начнем с применения формул корней квадратного уравнения и подставления второго корня через первый.

Обозначим \(x_1\) и \(x_2\) как корни нашего уравнения. Используя заданное условие \(x_2 = 5x_1\), можем записать их как:

• \(x_1 = x\)
• \(x_2 = 5x\)

Согласно формуле Виета, для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):

1. Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)
2. Произведение корней: \(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

В нашем случае:

• \(a = 6\)
• \(b = -12\)
• \(c = p\)

Теперь подставим корни:

1. Сумма: \(x + 5x = 6x = -\frac{-12}{6} = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3}\)
2. Произведение: \(x \cdot 5x = 5x^2 = \frac{p}{6}\)

Теперь подставим \(x = \frac{1}{3}\) в уравнение для произведения: \[ 5\left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{p}{6} \]

Посчитаем: \[ 5 \cdot \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \]

Теперь равняем это: \[ \frac{5}{9} = \frac{p}{6} \]

Чтобы найти \(p\), умножим обе стороны на 6: \[ p = 6 \cdot \frac{5}{9} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \]

Таким образом, при \(p = \frac{10}{3}\) уравнение \(6x^2 - 12x + p = 0\) имеет корни, удовлетворяющие условию \(x_2 = 5x_1\).