В треугольнике АВС угол С равен 90°, АВ=40 , tg A=55/3√55. Найдите АС

В треугольнике ABC, где угол C равен 90°, мы можем использовать свойства прямоугольного треугольника и тригонометрические функции для нахождения стороны AC.

Зная, что тангенс угла A (tg A) равен отношению противолежащей стороны к прилежащей, можем записать следующее:

\[ \tan A = \frac{BC}{AC} \]

В данной задаче нам известно, что:

• tg A = \( \frac{55}{3\sqrt{55}} \)
• AB (гипотенуза) = 40

Сначала найдем отношение \( BC \) к \( AC \):

\[ BC = AC \cdot \tan A = AC \cdot \frac{55}{3\sqrt{55}} \]

Теперь применим теорему Пифагора для треугольника ABC:

\[ AB^2 = AC^2 + BC^2 \]

Подставим известные значения и выражение для \( BC \):

\[ 40^2 = AC^2 + \left(AC \cdot \frac{55}{3\sqrt{55}}\right)^2 \]

Раскроем уравнение:

\[ 1600 = AC^2 + AC^2 \cdot \left(\frac{55^2}{(3\sqrt{55})^2}\right) \]

Сначала упростим выражение для \( BC^2 \):

\[ (3\sqrt{55})^2 = 9 \cdot 55 = 495 \] \[ \frac{55^2}{495} = \frac{3025}{495} = \frac{605}{99} \]

Теперь подставим это обратно в уравнение:

\[ 1600 = AC^2 + AC^2 \cdot \frac{605}{99} \]

Объединим левую часть:

\[ 1600 = AC^2 \left(1 + \frac{605}{99}\right) \]

Преобразуем:

\[ 1 + \frac{605}{99} = \frac{99 + 605}{99} = \frac{704}{99} \]

Теперь у нас есть:

\[ 1600 = AC^2 \cdot \frac{704}{99} \]

Перейдем к нахождению \( AC^2 \):

\[ AC^2 = \frac{1600 \cdot 99}{704} \]

Теперь можно упростить:

\[ AC^2 = \frac{158400}{704} \]

Выполним деление:

\[ AC^2 \approx 224.57 \]

Теперь найдем \( AC \):

\[ AC \approx \sqrt{224.57} \approx 15 \]

Таким образом, длина стороны AC составляет примерно 15.