Для нахождения длины ребра правильной треугольной призмы с равными рёбрами, рассмотрим условия задачи и свойства правильного треугольника.
- Обозначим длину ребра призмы как ( a ).
- Правильная треугольная призма имеет основание в форме правильного треугольника, у которого все стороны равны длине ( a ).
- Площадь сечения, проведенного через боковое ребро и середину противолежащей стороны, будет представлять собой трапецию или треугольник в зависимости от положения сечения.
Секция проходит через одно из боковых рёбер и середину противолежащей стороны, поэтому давайте сосредоточимся на основе:
- Высота правильного треугольника можно найти по формуле:
[
h = \frac{\sqrt{3}}{2}a
]
- Сторона, проходящая через середину, будет равна ( \frac{a}{2} ).
Теперь найдем площадь сечения. Если сечение проходит через верхнюю точку одного из боковых рёбер и через середину нижнего основания, то образуется треугольник с основанием, равным ( \frac{a}{2} ) и высотой, равной ( h ):
Таким образом, площадь этого треугольника ( S_{сечение} ):
[
S_{сечение} = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}a = \frac{\sqrt{3}}{8}a^2
]
Из условия задачи известна площадь сечения:
[
S_{сечение} = 2\sqrt{3} \text{ см}^2
]
Теперь можем установить равенство:
[
\frac{\sqrt{3}}{8}a^2 = 2\sqrt{3}
]
Упростим это уравнение. Умножим обе стороны на ( \frac{8}{\sqrt{3}} ):
[
a^2 = 2\sqrt{3} \cdot \frac{8}{\sqrt{3}} = 16
]
Теперь найдём ( a ):
[
a = \sqrt{16} = 4 \text{ см}
]
Таким образом, длина ребра этой призмы равна ( 4 ) см.
