Реши задачу

Привет! Давай решим задачки вместе. Я помогу тебе разложить все по полочкам.

Вариант 1

1. Вычислите: a) \( 3^{-3} \cdot 3^5 \) Упростим: \( 3^{-3+5} = 3^2 = 9 \)

   б) \( 5^{-2} \cdot 5^{-3} \) Упростим: \( 5^{-2-3} = 5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125} \)

2. Решите уравнение: \( 3(x - 2) - 5(x + 1) = -8x \)

   Раскроем скобки: \( 3x - 6 - 5x - 5 = -8x \)

   Приведем подобные члены: \( -2x - 11 = -8x \)

   Переносим \( -2x \) в правую часть: \( -11 = -8x + 2x \) \( -11 = -6x \)

   Найдем \( x \): \( x = \frac{-11}{-6} = \frac{11}{6} \)

3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} x + y &= 7 \\ x - y &= 3 \end{aligned} \right. \]

   Сложим два уравнения: \( (x + y) + (x - y) = 7 + 3 \) \( 2x = 10 \) \( x = 5 \)

   Подставим \( x = 5 \) в первое уравнение: \( 5 + y = 7 \) \( y = 2 \)

4. Выполните действия: а) \( \frac{3a}{7b} \times \frac{14b}{9a} = \frac{3a \cdot 14b}{7b \cdot 9a} = \frac{42ab}{63ab} = \frac{42}{63} = \frac{2}{3} \)

   б) \( \frac{4}{x + 3} - \frac{1}{x - 3} = \frac{4(x - 3) - 1(x + 3)}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{4x - 12 - x - 3}{x^2 - 9} = \frac{3x - 15}{x^2 - 9} = \frac{3(x - 5)}{x^2 - 9} \)

5. Приведите многочлен к стандартному виду: \[ (2x + x^2 - 5) - (7x - 3x^2 + 3) = x^2 + 2x - 5 - 7x + 3x^2 - 3 = 4x^2 - 5x - 8 \]

6. Сумма двух чисел равна 967, а разность 123. Найдите эти числа.

   Обозначим числа через \( x \) и \( y \): \[ \left\{ \begin{aligned} x + y &= 967 \\ x - y &= 123 \end{aligned} \right. \]

   Сложим два уравнения: \( (x + y) + (x - y) = 967 + 123 \) \( 2x = 1090 \) \( x = 545 \)

   Подставим \( x = 545 \) в первое уравнение: \( 545 + y = 967 \) \( y = 422 \)

Вариант 2

1. Вычислите: а) \( 2^{-4} \cdot 2^6 \) Упростим: \( 2^{-4+6} = 2^2 = 4 \)

   б) \( 3^{-3} \cdot 3^{-4} \) Упростим: \( 3^{-3-4} = 3^{-7} = \frac{1}{3^7} = \frac{1}{2187} \)

2. Решите уравнение: \( 4(x + 1) + 9(x - 2) = 7x \)

   Раскроем скобки: \( 4x + 4 + 9x - 18 = 7x \)

   Приведем подобные члены: \( 13x - 14 = 7x \)

   Переносим \( 7x \) в левую часть: \( 13x - 7x = 14 \) \( 6x = 14 \)

   Найдем \( x \): \( x = \frac{14}{6} = \frac{7}{3} \)

3. Решите систему уравнений: \[ \left\{ \begin{aligned} 2x + y &= 8 \\ 3x - y &= 7 \end{aligned} \right. \]

   Сложим два уравнения: \( (2x + y) + (3x - y) = 8 + 7 \) \( 5x = 15 \) \( x = 3 \)

   Подставим \( x = 3 \) в первое уравнение: \( 2(3) + y = 8 \) \( 6 + y = 8 \) \( y = 2 \)

4. Выполните действия: а) \( \frac{8a}{3b} \cdot \frac{6b}{4a} = \frac{8a \cdot 6b}{3b \cdot 4a} = \frac{48ab}{12ab} = \frac{48}{12} = 4 \)

   б) \( \frac{7}{x - 1} + \frac{3}{x + 1} = \frac{7(x + 1) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{7x + 7 + 3x - 3}{x^2 - 1} = \frac{10x + 4}{x^2 - 1} = \frac{2(5x + 2)}{x^2 - 1} \)

5. Приведите многочлен к стандартному виду: \[ (x^2 - x + 1) - (5x - 2 + 3x^2) = x^2 - x + 1 - 5x + 2 - 3x^2 = -2x^2 - 6x + 3 \]

6. Сумма двух чисел равна 679, а разность 153. Найдите эти числа.

   Обозначим числа через \( x \) и \( y \): \[ \left\{ \begin{aligned} x + y &= 679 \\ x - y &= 153 \end{aligned} \right. \]

   Сложим два уравнения: \( (x + y) + (x - y) = 679 + 153 \) \( 2x = 832 \) \( x = 416 \)

   Подставим \( x = 416 \) в первое уравнение: \( 416 + y = 679 \) \( y = 263 \)

Надеюсь, это поможет тебе разобраться с задачами! Если есть вопросы - спрашивай.