Реши задачу

Привет! Давай вместе решим задачи по алгебре.

Вариант 1

1. Вычислите: a) \( 3^{-3} \cdot 3^5 \)

   Решение: \( 3^{-3} \cdot 3^5 = 3^{5-3} = 3^2 = 9 \)

   б) \( 5^{-2} \cdot 5^{-3} \)

   Решение: \( 5^{-2} \cdot 5^{-3} = 5^{-2-3} = 5^{-5} = \frac{1}{5^5} = \frac{1}{3125} \)

2. Решите уравнение:

\[ 3(x - 2) - 5(x + 1) = -8x \]

Решение: Раскроем скобки и приведём подобные: \( 3x - 6 - 5x - 5 = -8x \)

\( -2x - 11 = -8x \)

Перенесем все \( x \) в одну сторону и числа в другую: \( -2x + 8x = 11 \)

\( 6x = 11 \)

\( x = \frac{11}{6} \)

3. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} 5x - 2y = 5 \\ 3x + y = 4 \end{cases} \]

Решение: Выразим \( y \) из второго уравнения: \( y = 4 - 3x \)

Подставим в первое уравнение: \( 5x - 2(4 - 3x) = 5 \)

\( 5x - 8 + 6x = 5 \)

\( 11x = 13 \)

\( x = \frac{13}{11} \)

Теперь подставим значение \( x \) обратно: \( y = 4 - 3 \cdot \frac{13}{11} \)

\( y = 4 - \frac{39}{11} = \frac{44}{11} - \frac{39}{11} = \frac{5}{11} \)

Ответ: \( x = \frac{13}{11} \), \( y = \frac{5}{11} \)

4. Выполните действия:

\[ \frac{3}{x + 2} + \frac{7}{x - 3} - \frac{11(x + 2) - 7(x - 3)}{(x + 2)(x - 3)} \]

Решение: Приведем к общему знаменателю: \( = \frac{3(x - 3) + 7(x + 2) - [11(x + 2) - 7(x - 3)]}{(x + 2)(x - 3)} \)

Раскроем скобки и приведём подобные: \( = \frac{3x - 9 + 7x + 14 - 11x - 22 + 7x - 21}{(x + 2)(x - 3)} \)

\( = \frac{-4x - 38}{(x + 2)(x - 3)} \)

5. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида:

\[ (2a - 3b)^2 - (a + b)(3a - b) \]

Решение: \( (2a - 3b)^2 = 4a^2 - 12ab + 9b^2 \)

\( (a + b)(3a - b) = 3a^2 - ab + 3ab - b^2 = 3a^2 + 2ab - b^2 \)

\( (2a - 3b)^2 - (a + b)(3a - b) = 4a^2 - 12ab + 9b^2 - 3a^2 - 2ab + b^2 \)

\( = a^2 - 14ab + 10b^2 \)

6. Сумма двух чисел равна 967, а разность 123. Найдите эти числа.

   Решение: Обозначим числа \( x \) и \( y \).

   Уравнения: \( x + y = 967 \)

   \( x - y = 123 \)

   Сложим оба уравнения: \( 2x = 1090 \)

   \( x = 545 \)

   Теперь подставим \( x \) в первое уравнение: \( 545 + y = 967 \)

   \( y = 422 \)

   Ответ: 545 и 422.

Вариант 2

1. Вычислите: a) \( 2^{-4} \cdot 2^{6} \)

   Решение: \( 2^{-4} \cdot 2^{6} = 2^{-4+6} = 2^{2} = 4 \)

   б) \( 5^3 \cdot 5^{-4} \)

   Решение: \( 5^3 \cdot 5^{-4} = 5^{3-4} = 5^{-1} = \frac{1}{5} \)

2. Решите уравнение:

\[ 2(x - 1) - 4(2 - x) = -x + 3 \]

Решение: Раскроем скобки и приведём подобные: \( 2x - 2 - 8 + 4x = -x + 3 \)

\( 6x - 10 = -x + 3 \)

\( 6x + x = 10 + 3 \)

\( 7x = 13 \)

\( x = \frac{13}{7} \)

3. Решите систему уравнений:

\[ \begin{cases} 2x + y = 10 \\ 4x - 3y = 8 \end{cases} \]

Решение: Выразим \( y \) из первого уравнения: \( y = 10 - 2x \)

Подставим в второе уравнение: \( 4x - 3(10 - 2x) = 8 \)

\( 4x - 30 + 6x = 8 \)

\( 10x = 38 \)

\( x = \frac{38}{10} = 3.8 \)

Теперь подставим \( x \) обратно: \( y = 10 - 2 \cdot 3.8 = 10 - 7.6 = 2.4 \)

Ответ: \( x = 3.8 \), \( y = 2.4 \)

4. Выполните действия:

\[ \frac{2}{x - 3} + \frac{5}{x + 4} + \frac{-7(x + 4) + k + 4}{(x - 3)(x + 4)} \]

Решение: Приведем к общему знаменателю: \( = \frac{2(x + 4) + 5(x - 3) + [-7(x + 4) + k + 4]}{(x - 3)(x + 4)} \)

Раскроем скобки и приведём подобные: \( = \frac{2x + 8 + 5x - 15 - 7x - 28 + k + 4}{(x - 3)(x + 4)} \)

\( = \frac{2x - 7x + 5x + 8 - 15 - 28 + k + 4}{(x - 3)(x + 4)} \)

\( = \frac{0x - k + k}{(x - 3)(x + 4)} \)

Ответ: \( \frac{0}{(x - 3)(x + 4)} \)

5. Преобразуйте алгебраическое выражение в многочлен стандартного вида:

\[ (a - 2b)^2 - (3a - b)(a - b) \]

Решение: \( (a - 2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2 \)

\( (3a - b)(a - b) = 3a^2 - ab - 3ab + b^2 = 3a^2 - 4ab + b^2 \)

\( (a - 2b)^2 - (3a - b)(a - b) = a^2 - 4ab + 4b^2 - 3a^2 + 4ab - b^2 \)

( = -2a^2 + 3b^2