сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, каждый угол у которого равен : а) 90°, б) 60° , в) 120°, г) 108°

Для определения количества сторон выпуклого многоугольника, зная величины его углов, можно воспользоваться формулой для внутреннего угла многоугольника, а именно:

\[ \text{Внутренний угол} = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

где \( n \) — количество сторон многоугольника.

Рассмотрим каждый случай по отдельности:

а) Углы по 90°: Для многоугольника с углом 90° подставляем в формулу:

\[ 90° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем обе стороны на \( n \):

\[ 90n = (n - 2) \times 180 \]

Раскрываем скобки:

\[ 90n = 180n - 360 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 90n - 180n = -360 \]

\[ -90n = -360 \]

Делим на -90:

\[ n = 4 \]

Таким образом, выпуклый многоугольник с углами по 90° — это квадрат (4 стороны).

б) Углы по 60°: Применяем аналогичное уравнение:

\[ 60° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем обе стороны на \( n \):

\[ 60n = (n - 2) \times 180 \]

Раскрываем скобки:

\[ 60n = 180n - 360 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 60n - 180n = -360 \]

\[ -120n = -360 \]

Делим на -120:

\[ n = 3 \]

Таким образом, выпуклый многоугольник с углами по 60° — это правильный треугольник (3 стороны).

в) Углы по 120°: Используем ту же формулу:

\[ 120° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем обе стороны на \( n \):

\[ 120n = (n - 2) \times 180 \]

Раскрываем скобки:

\[ 120n = 180n - 360 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 120n - 180n = -360 \]

\[ -60n = -360 \]

Делим на -60:

\[ n = 6 \]

То есть, выпуклый многоугольник с углами по 120° — это правильный шестиугольник (6 сторон).

г) Углы по 108°: Применяем ту же формулу:

\[ 108° = \frac{(n - 2) \times 180°}{n} \]

Умножаем обе стороны на \( n \):

\[ 108n = (n - 2) \times 180 \]

Раскрываем скобки:

\[ 108n = 180n - 360 \]

Переносим все на одну сторону:

\[ 108n - 180n = -360 \]

\[ -72n = -360 \]

Делим на -72:

\[ n = 5 \]

Итак, выпуклый многоугольник с углами по 108° — это правильный пятиугольник (5 сторон).

В итоге, у нас следующие результаты:

• а) 4 стороны (квадрат)
• б) 3 стороны (равносторонний треугольник)
• в) 6 сторон (правильный шестиугольник)
• г) 5 сторон (правильный пятиугольник)