Докажите что выражение 5⁹-25⁴-125² кратно 99

Чтобы доказать, что выражение \(5^9 - 25^4 - 125^2\) кратно 99, начнем с разложения чисел на основе степени 5.

1. Обратите внимание, что \(25 = 5^2\) и \(125 = 5^3\). Таким образом, мы можем переписать выражение: \[ 5^9 - 25^4 - 125^2 = 5^9 - (5^2)^4 - (5^3)^2 = 5^9 - 5^8 - 5^6. \]

2. Теперь упрощаем это выражение: \[ 5^9 - 5^8 - 5^6 = 5^6 (5^3 - 5^2 - 1). \]

3. Далее, нужно упростить выражение в скобках: \[ 5^3 = 125, \quad 5^2 = 25, \quad \text{тогда} \quad 5^3 - 5^2 - 1 = 125 - 25 - 1 = 99. \]

Теперь мы можем переписать всё выражение как: \[ 5^6 \cdot 99. \]

4. Мы видим, что \(5^6 \cdot 99\) четко делится на 99. Таким образом, завершив доказательство, мы можем сказать, что \(5^9 - 25^4 - 125^2\) действительно кратно 99.