Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8см, а диагональ боковой грани равна 10см. найдите площадь боковой и полной поверхности призмы.

Для решения задачи о правильной треугольной призме начнем с определения необходимых параметров. 1. **Сторона основания** правильной треугольной призмы равна 8 см. Это равносторонний треугольник, и его высота может быть найдена по формуле: \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot a \] Где \( a = 8 \, \text{см} \). Подставляя значение \( a \): \[ h_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot 8 \approx 6.93 \, \text{см} \] 2. **Высота призмы** будет найдено с использованием диагонали боковой грани. Диагональ боковой грани (которая является прямоугольным треугольником) равна 10 см. Одной стороной этого прямоугольного треугольника будет высота призмы (обозначим её \( h \)), а другой стороной - высота основания (приблизительно 6.93 см). Применим теорему Пифагора: \[ h_{стороны}^2 + h_{основания}^2 = d^2 \] Где \( d = 10 \, \text{см} \). Подставим значения: \[ h^2 + (6.93)^2 = (10)^2 \] \[ h^2 + 48.0369 = 100 \] \[ h^2 = 100 - 48.0369 \approx 51.9631 \] \[ h \approx \sqrt{51.9631} \approx 7.21 \, \text{см} \] 3. **Площадь боковой поверхности призмы** рассчитывается по формуле: \[ S_{бок} = Perimeter_{основания} \times h \] Периметр основания равностороннего треугольника равен: \[ P = 3 \cdot a = 3 \cdot 8 = 24 \, \text{см} \] Подставляя значения: \[ S_{бок} = 24 \cdot 7.21 \approx 173.04 \, \text{см}^2 \] 4. **Площадь полной поверхности** призмы складывается из площади боковой поверхности и двух оснований: Площадь одного основания равностороннего треугольника: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \] Подставим значение: \[ S_{основания} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 8^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 64 \approx 27.71 \, \text{см}^2 \] Площадь полной поверхности: \[ S_{полная} = S_{бок} + 2 \cdot S_{основания} \] \[ S_{полная} = 173.04 + 2 \cdot 27.71 \approx 173.04 + 55.42 \approx 228.46 \, \text{см}^2 \] Итак, окончательные результаты: - Площадь боковой поверхности призмы составляет примерно **173.04 см²**. - Полная поверхность призмы составляет примерно **228.46 см²**.