Турист проплыл на байдарке 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, какое понадобилось ему, чтобы проплыть по течению 45 км. С какой скоростью плыл турист по озеру, если скорость течения реки равна 2 км/ч?
Чтобы решить эту задачу, начнем с определения переменных:
- Пусть скорость туриста по озеру будет \( v \) км/ч.
- Скорость течения реки равна 2 км/ч.
Турист проплыл 24 км по озеру и 9 км против течения реки за то же время, что понадобилось ему, чтобы проплыть 45 км по течению.
Для начала запишем формулы для времени, которое затратил турист:
Время, потраченное на плавание по озеру: \[ t_{\text{озеро}} = \frac{24}{v} \]
Время, потраченное на плавание против течения реки: \[ t_{\text{река, против}} = \frac{9}{v - 2} \]
Время, потраченное на плавание по течению реки: \[ t_{\text{река, по}} = \frac{45}{v + 2} \]
Поскольку время на плавание по озеру и против течения равно времени на плавание по течению, мы можем записать уравнение:
\[ \frac{24}{v} + \frac{9}{v - 2} = \frac{45}{v + 2} \]
Теперь умножим все части уравнения на \( v(v - 2)(v + 2) \) для исключения дробей. Это даст:
\[ 24(v - 2)(v + 2) + 9v(v + 2) = 45v(v - 2) \]
Раскроем скобки:
\[ 24(v^2 - 4) + 9(v^2 + 2v) = 45(v^2 - 2v) \]
Теперь упростим каждую часть:
\[ 24v^2 - 96 + 9v^2 + 18v = 45v^2 - 90v \]
Соберем все термины в одном уравнении:
\[ 24v^2 + 9v^2 + 18v + 96 - 45v^2 + 90v = 0 \]
Упрощаем:
\[ -12v^2 + 108v + 96 = 0 \]
Умножим на -1, чтобы избавиться от отрицательного коэффициента:
\[ 12v^2 - 108v - 96 = 0 \]
Чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-108)^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-96) = 11664 + 4608 = 16272 \]
Теперь найдем корни уравнения по формуле:
\[ v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{108 \pm \sqrt{16272}}{24} \]
Сначала вычислим \( \sqrt{16272} \approx 127.5 \), затем подставим в формулу:
\[ v = \frac{108 \pm 127.5}{24} \]
У нас получится два значения:
- \( v_1 = \frac{235.5}{24} \approx 9.81 \) км/ч
- \( v_2 = \frac{-19.5}{24} \), которое отрицательное и не подходит.
Таким образом, скорость туриста по озеру составляет приблизительно \( 9.81 \) км/ч.
