Решите неравенство методом интервалов: (x-3)/((5+x)(1-x)^(2)) ≥0 Укажите наименьшее отрицательное число, которое является решением неравенства.
Чтобы решить неравенство
\[ \frac{x-3}{(5+x)(1-x)^{2}} \geq 0 \]
методом интервалов, сначала найдем нули числителя и знаки знаменателя.
Найдем нули числителя: Числитель равен нулю при \(x - 3 = 0\), то есть \(x = 3\).
Определим, где знаменатель равен нулю: Знаменатель равен нулю, если:
- \(5 + x = 0 \Rightarrow x = -5\)
- \((1-x)^{2} = 0 \Rightarrow 1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)
Таким образом, дробь не определена в точках \(x = -5\) и \(x = 1\).
- Определим знаки функции: Рассмотрим интервалы, разделенные найденными точками: \((- \infty, -5)\), \((-5, 1)\), \( (1, 3)\) и \( (3, + \infty)\).
Теперь выберем тестовые значения из каждого интервала:
Интервал \((- \infty, -5)\): Пусть \(x = -6\) \[ \frac{-6 - 3}{(5 - 6)(1 + 6)^{2}} = \frac{-9}{(-1)(49)} = \frac{-9}{-49} > 0 \]
Интервал \((-5, 1)\): Пусть \(x = 0\) \[ \frac{0 - 3}{(5 + 0)(1 - 0)^{2}} = \frac{-3}{(5)(1)} = -\frac{3}{5} < 0 \]
Интервал \((1, 3)\): Пусть \(x = 2\) \[ \frac{2 - 3}{(5 + 2)(1 - 2)^{2}} = \frac{-1}{(7)(1)} = -\frac{1}{7} < 0 \]
Интервал \((3, + \infty)\): Пусть \(x = 4\) \[ \frac{4 - 3}{(5 + 4)(1 - 4)^{2}} = \frac{1}{(9)(9)} = \frac{1}{81} > 0 \]
Теперь можем записать знаки на интервалах:
- \((- \infty, -5)\): > 0
- \((-5, 1)\): < 0
- \((1, 3)\): < 0
- \((3, + \infty)\): > 0
Соберем результаты: Неравенство \( \frac{x - 3}{(5+x)(1-x)^{2}} \geq 0 \) выполняется в интервалах \((- \infty, -5)\) и \((3, + \infty)\). Включаем \(x = 3\) как решение.
Наименьшее отрицательное число: Наименьшее отрицательное число в решении неравенства — это \(x = -5\) (так как оно является границей, где сила знака меняется и при этом не включается).
Таким образом, ответ:
\[ -5 \]
