3х²-8х-3_<0

Чтобы решить неравенство \(3x^2 - 8x - 3 < 0\), первым шагом будет нахождение корней соответствующего квадратного уравнения \(3x^2 - 8x - 3 = 0\). Для этого можно воспользоваться дискриминантом:

Дискриминант \(D\) вычисляется по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \(a = 3\), \(b = -8\), \(c = -3\).

Подставляя значения, получаем: \[ D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 \]

Теперь, так как дискриминант положительный, мы можем найти два различных корня уравнения с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

Подставляем значения: \[ x_1 = \frac{-(-8) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 + 10}{6} = \frac{18}{6} = 3 \] \[ x_2 = \frac{-(-8) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{8 - 10}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]

Теперь у нас есть корни \(x_1 = 3\) и \(x_2 = -\frac{1}{3}\).

Следующим шагом является определение знака функции \(3x^2 - 8x - 3\) на интервалах, определенных этими корнями: \((-\infty, -\frac{1}{3})\), \((- \frac{1}{3}, 3)\) и \((3, \infty)\).

1. Выберем точку из интервала \((-\infty, -\frac{1}{3})\), например, \(x = -1\): \[ 3(-1)^2 - 8(-1) - 3 = 3 + 8 - 3 = 8 > 0 \]

2. Выберем точку из интервала \((- \frac{1}{3}, 3)\), например, \(x = 0\): \[ 3(0)^2 - 8(0) - 3 = -3 < 0 \]

3. Выберем точку из интервала \((3, \infty)\), например, \(x = 4\): \[ 3(4)^2 - 8(4) - 3 = 48 - 32 - 3 = 13 > 0 \]

Теперь мы можем сделать вывод о знаке функции в этих интервалах:

• В интервале \((-\infty, -\frac{1}{3})\) функция положительна.
• В интервале \((- \frac{1}{3}, 3)\) функция отрицательна.
• В интервале \((3, \infty)\) функция положительна.

Таким образом, неравенство \(3x^2 - 8x - 3 < 0\) выполняется на интервале:

\[ x \in \left(-\frac{1}{3}, 3\right) \]

Это и есть решение нашего неравенства.