7x2 -3x -4 больше 0
Чтобы решить неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \), нужно сначала найти корни соответствующего квадратного уравнения \( 7x^2 - 3x - 4 = 0 \).
Для этого воспользуемся формулой дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac, \]
где \( a = 7 \), \( b = -3 \), \( c = -4 \).
Подставим значения:
\[ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-4) = 9 + 112 = 121. \]
Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]
Подставим значения:
\[ x_1 = \frac{3 + \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{3 + 11}{14} = \frac{14}{14} = 1, \] \[ x_2 = \frac{3 - \sqrt{121}}{2 \cdot 7} = \frac{3 - 11}{14} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7}. \]
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -\frac{4}{7} \). Мы можем разбить числовую ось на три интервала, которые определяются корнями:
- \( (-\infty, -\frac{4}{7}) \),
- \( \left(-\frac{4}{7}, 1\right) \),
- \( (1, +\infty) \).
Теперь нужно проверить, где неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \) выполняется. Мы можем взять тестовые значения из каждого интервала:
Для \( x = -1 \) (из первого интервала): \[ 7(-1)^2 - 3(-1) - 4 = 7 + 3 - 4 = 6 > 0. \] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.
Для \( x = 0 \) (из второго интервала): \[ 7(0)^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0. \] Значит, в этом интервале неравенство не выполняется.
Для \( x = 2 \) (из третьего интервала): \[ 7(2)^2 - 3(2) - 4 = 28 - 6 - 4 = 18 > 0. \] Значит, в этом интервале неравенство выполняется.
Таким образом, неравенство \( 7x^2 - 3x - 4 > 0 \) выполняется для интервалов:
\[ (-\infty, -\frac{4}{7}) \quad \text{и} \quad (1, +\infty). \]
Итак, ответ: \( x \in (-\infty, -\frac{4}{7}) \cup (1, +\infty) \).
