вычислите площадь фигуры ограниченной кривой у=2х-4 и интервалом от 0 до 2
Для вычисления площади фигуры, ограниченной кривой \(y = 2x - 4\) и интервалом от \(x = 0\) до \(x = 2\), необходимо выполнить следующие шаги:
Найти точки пересечения с осью X. Кривая пересекает ось X там, где \(y = 0\): \[ 0 = 2x - 4 \] Решим уравнение: \[ 2x = 4 \implies x = 2 \] Таким образом, кривая пересекает ось X в точке \(x = 2\).
Построить график функции. На интервале от \(x = 0\) до \(x = 2\) кривая имеет следующие значения:
- При \(x = 0: y = 2(0) - 4 = -4\)
- При \(x = 2: y = 2(2) - 4 = 0\)
График функции будет линейным с отрицательным наклоном и будет находиться ниже оси X на данном интервале.
Вычислить площадь фигуры. Поскольку кривая ниже оси X, площадь получается с отрицательным значением. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой и осью X, нужно вычислить интеграл, взяв абсолютное значение: \[ \text{Площадь} = -\int_{0}^{2} (2x - 4) \, dx \]
Вычислим интеграл: \[ \int (2x - 4) \, dx = x^2 - 4x \]
Теперь подставим пределы интегрирования: \[ \left[ x^2 - 4x \right]_{0}^{2} = (2^2 - 4 \cdot 2) - (0^2 - 4 \cdot 0) = (4 - 8) - 0 = -4 \]
Площадь будет положительным значением: \[ \text{Площадь} = -(-4) = 4 \]
Таким образом, площадь фигуры, ограниченной кривой \(y = 2x - 4\) в интервале от \(0\) до \(2\), составляет \(4\) квадратных единицы.
