4. (x+6)(x-7)≤0

Чтобы решить неравенство \( (x+6)(x-7) \leq 0 \), нужно сначала найти корни выражения, приравняв его к нулю. Это означает, что мы решим уравнение:

\[ (x + 6)(x - 7) = 0 \]

Корни этого уравнения:

1. \( x + 6 = 0 \) \(\Rightarrow x = -6\)
2. \( x - 7 = 0 \) \(\Rightarrow x = 7\)

Таким образом, у нас есть два ключевых значения: \( x = -6 \) и \( x = 7 \). Теперь мы будем использовать эти корни, чтобы разделить числовую прямую на интервалы:

1. \( (-\infty, -6) \)
2. \( (-6, 7) \)
3. \( (7, +\infty) \)

Теперь нужно протестировать каждую из этих областей на знак выражения \( (x + 6)(x - 7) \).

1. Для интервала \( (-\infty, -6) \): Например, возьмем \( x = -7 \): \[ (-7 + 6)(-7 - 7) = (-1)(-14) = 14 > 0 \]

2. Для интервала \( (-6, 7) \): Например, возьмем \( x = 0 \): \[ (0 + 6)(0 - 7) = (6)(-7) = -42 < 0 \]

3. Для интервала \( (7, +\infty) \): Например, возьмем \( x = 8 \): \[ (8 + 6)(8 - 7) = (14)(1) = 14 > 0 \]

Теперь мы знаем знаки выражения на интервалах:

• На интервале \( (-\infty, -6) \) результат положительный.
• На интервале \( (-6, 7) \) результат отрицательный.
• На интервале \( (7, +\infty) \) результат положительный.

Нам нужно решить неравенство \( (x + 6)(x - 7) \leq 0 \), поэтому нас интересует где результат меньше или равен нулю. Это происходит в интервале \( (-6, 7) \), а также на границах:

• В точке \( x = -6 \): \( (x + 6) = 0 \)
• В точке \( x = 7 \): \( (x - 7) = 0 \)

Таким образом, решение неравенства выглядит так:

\[ x \in [-6, 7] \]

В заключение, ответ на неравенство \( (x + 6)(x - 7) \leq 0 \) — это интервал \( x \in [-6, 7] \).