-х²+2х/х(х-4)(х-5)>=0

Чтобы решить неравенство \(-x^2 + \frac{2x}{x(x-4)(x-5)} \geq 0\), сначала нужно привести его к одному знаменателю.

1. Приведем левую часть неравенства к общему знаменателю. Общий знаменатель равен \(x(x-4)(x-5)\). Изменим каждую часть неравенства:

\[ -x^2(x(x-4)(x-5)) + 2x \geq 0 \]

2. Упростим выражение:

\[ -x^2 \cdot x \cdot (x-4)(x-5) + 2x \geq 0 \]

3. Раскроем скобки:

\[ -x^3 + 4x^2 + 5x^2 - 20x + 2x \geq 0 \\ -x^3 + 9x^2 - 20x \geq 0 \]

Таким образом, мы имеем неравенство:

\[ -x^3 + 9x^2 - 20x \geq 0 \]

4. Вытащим общий множитель:

\[ x(-x^2 + 9x - 20) \geq 0 \]

5. Далее решим квадратное уравнение \(-x^2 + 9x - 20 = 0\). Для этого определим дискриминант:

\[ D = (9)^2 - 4(-1)(-20) = 81 - 80 = 1 \]

Находим корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 + 1}{-2} = 4 \\ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-9 - 1}{-2} = 5 \]

6. Теперь у нас есть важные точки: \(x = 0\), \(x = 4\) и \(x = 5\).

7. Теперь рассмотрим знаки выражения \(x(-x^2 + 9x - 20)\) на промежутках, определяемых этими точками:

• (-∞, 0),
• (0, 4),
• (4, 5),
• (5, +∞).

8. Проверяем знак на каждом интервале:

• Для \(x < 0\): Значение будет положительным, так как \(x\) отрицательно, а выражение внутри скобок положительно (квадратное с отрицательным знаком перед ним).
• Для \(0 < x < 4\): \(x\) положительно, \(-x^2 + 9x - 20\) отрицательно. Результат отрицательный.
• Для \(4 < x < 5\): \(x\) положительно, \(-x^2 + 9x - 20\) положительно. Результат положительный.
• Для \(x > 5\): \(x\) положительно, \(-x^2 + 9x - 20\) отрицательно. Результат отрицательный.

9. Таким образом, неравенство \(x(-x^2 + 9x - 20) \geq 0\) выполняется на интервалах:

• \((-\infty, 0]\) и \([4, 5]\).

10. Итог. Решением неравенства \(-x^2 + \frac{2x}{x(x-4)(x-5)} \geq 0\) является:

\[ x \in (-\infty, 0] \cup [4, 5] \]