X²+3x-4>6x

Чтобы решить неравенство \(x^2 + 3x - 4 > 6x\), сначала перенесем все слагаемые в одну сторону:

\[ x^2 + 3x - 4 - 6x > 0 \]

Упростим это выражение:

\[ x^2 - 3x - 4 > 0 \]

Теперь нам нужно найти корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\), чтобы выделить интервал, в котором неравенство выполняется. Для этого можем использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 \]

Теперь найдем корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{3 - 5}{2} = -1 \]

Таким образом, корни уравнения \(x^2 - 3x - 4 = 0\) — это \(x = 4\) и \(x = -1\).

Теперь мы можем нарисовать числовую прямую и определить интервалы:

• \( (-\infty, -1) \)
• \( (-1, 4) \)
• \( (4, +\infty) \)

Теперь проверим, в каких интервалах неравенство выполняется. Мы можем выбрать тестовые значения из каждого интервала.

1. Для интервала \((- \infty, -1)\), возьмем \(x = -2\): \[ (-2)^2 - 3(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0 \quad (\text{выполняется}) \]

2. Для интервала \((-1, 4)\), возьмем \(x = 0\): \[ 0^2 - 3(0) - 4 = -4 < 0 \quad (\text{не выполняется}) \]

3. Для интервала \((4, +\infty)\), возьмем \(x = 5\): \[ 5^2 - 3(5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0 \quad (\text{выполняется}) \]

Таким образом, неравенство \(x^2 - 3x - 4 > 0\) выполняется для интервалов:

\[ x \in (-\infty, -1) \cup (4, +\infty) \]

Это и есть решение неравенства.