Исследуйте функцию у=х³-5/2х²-2х+3/2 и постройте график
Чтобы исследовать функцию \( y = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \), давайте начнём с анализа её ключевых свойств и затем перейдём к построению графика.
Определение области определения: Функция является многочленом, поэтому она определена на всей числовой прямой \( \mathbb{R} \).
Поиск производной: Для нахождения экстремумов функции нам необходимо вычислить её первую производную: \[ y' = 3x^2 - 5x - 2 \] Найдём критические точки, приравняв производную к нулю: \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \] Используем дискриминант для решения квадратичного уравнения: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \] Дискриминант положителен, поэтому уравнение имеет два корня: \[ x_1 = \frac{5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 + 7}{6} = 2, \quad x_2 = \frac{5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3} \]
Вторичная производная: Для определения свойств критических точек найдем вторую производную: \[ y'' = 6x - 5 \] Подставляя критические точки:
- Для \( x_1 = 2 \): \[ y''(2) = 6 \cdot 2 - 5 = 12 - 5 = 7 \quad (\text{минимум}) \]
- Для \( x_2 = -\frac{1}{3} \): \[ y''\left(-\frac{1}{3}\right) = 6 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) - 5 = -2 - 5 = -7 \quad (\text{максимум}) \]
Находение значений функции в критических точках:
- Для \( x_1 = 2 \): \[ y(2) = 2^3 - \frac{5}{2}(2^2) - 2(2) + \frac{3}{2} = 8 - 10 - 4 + 1.5 = -4.5 \]
- Для \( x_2 = -\frac{1}{3} \): \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = \left(-\frac{1}{3}\right)^3 - \frac{5}{2}\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 2\left(-\frac{1}{3}\right) + \frac{3}{2} \] Вычисляя это, получим: \[ \frac{-1}{27} - \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{9} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} = -\frac{1}{27} - \frac{5}{18} + \frac{2}{3} + \frac{3}{2} \] Приводим к общему знаменателю (54): \[ y\left(-\frac{1}{3}\right) = -\frac{2}{54} - \frac{15}{54} + \frac{36}{54} + \frac{81}{54} = \frac{100}{54} = \frac{50}{27} \approx 1.85 \]
Определение поведения на границах: При \( x \to \infty \) и \( x \to -\infty \) функция ведёт себя как \( y \to \infty \).
Построение графика: Теперь, когда мы знаем ключевые точки (минимум в \( (2, -4.5) \) и максимум в \( \left(-\frac{1}{3}, \frac{50}{27}\right) \)), можем построить график функции, отметив полученные значения.
Вот основные шаги для исследования функции \( y = x^3 - \frac{5}{2}x^2 - 2x + \frac{3}{2} \). Используя эти данные, вы можете нарисовать график функции, который будет плавно возрастать и убывать, проходя через найденные ключевые точки.
