исследовать функцию на монотонность и экстремумы

Привет! Давай разберёмся с твоей задачей.

У нас есть функция: \( y = \frac{x^4 + 16}{x^2} \)

Нужно исследовать её на монотонность и экстремумы.

1. Найти производную функции y:

   Сначала упростим выражение: \( y = \frac{x^4}{x^2} + \frac{16}{x^2} = x^2 + \frac{16}{x^2} \)

2. Найти первую производную: \[ y' = \left(x^2\right)' + \left(\frac{16}{x^2}\right)' \] Производная \(x^2\) это \(2x\), а производная \( \frac{16}{x^2} \) это \(-\frac{32}{x^3} \). Следовательно: \[ y' = 2x - \frac{32}{x^3} \]

3. Исследовать производную на знак:

   Найдём критические точки, приравняем производную к нулю: \[ 2x - \frac{32}{x^3} = 0 \] Приведём к общему знаменателю: \[ 2x^4 - 32 = 0 \] \[ x^4 = 16 \] \[ x = \pm 2 \]

4. Исследовать знаки производной \(y'\): Проверим интервалы:

   • \( x < -2 \)
   • \( -2 < x < 2 \)
   • \( x > 2 \)

   Для этого возьмём пробные точки из каждого интервала и подставим в \(2x - \frac{32}{x^3}\) чтобы определить знак производной в каждом интервале.

5. Проверка:

   Если \( x \in (-\infty, -2) \) и \( x \in (2, +\infty) \): \[ 2x - \frac{32}{x^3} \] положительна, значит функция возрастает.

   Если \( x \in (-2, 2) \): \[ 2x - \frac{32}{x^3} \] отрицательна, значит функция убывает.

6. Найти экстремумы: Точки экстремума — это критические точки \( x = -2 \) и \( x = 2 \):

   • \( x = -2 \) (максимум)
   • \( x = 2 \) (минимум)

Итак, мы исследовали функцию на монотонность и нашли экстремумы:

• Убывает на интервале \( (-2, 2) \)
• Возрастает на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (2, +\infty) \)
• Максимум в точке \( x = -2 \)
• Минимум в точке \( x = 2 \)