X²-6x-7≥0 реши через дискриминант
Для решения неравенства \( x^2 - 6x - 7 \geq 0 \) с использованием дискриминанта, сначала найдем корни уравнения \( x^2 - 6x - 7 = 0 \).
Формула для дискриминанта выглядит так:
\[ D = b^2 - 4ac \]
В нашем случае коэффициенты:
- \( a = 1 \)
- \( b = -6 \)
- \( c = -7 \)
Теперь подставим значения в формулу дискриминанта:
\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \]
Так как дискриминант \( D > 0 \), у уравнения есть два различных действительных корня. Найдем корни с помощью формулы:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем известные значения:
\[ x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm 8}{2} \]
Теперь найдем оба корня:
- \( x_1 = \frac{6 + 8}{2} = \frac{14}{2} = 7 \)
- \( x_2 = \frac{6 - 8}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)
Теперь у нас есть корни \( x_1 = 7 \) и \( x_2 = -1 \).
Следующий шаг — определить знаки выражения \( x^2 - 6x - 7 \) на интервалах, определяемых корнями: \( (-\infty, -1) \), \( (-1, 7) \) и \( (7, +\infty) \).
- Выберем точку из первого интервала, например, \( x = -2 \):
\[ x^2 - 6x - 7 = (-2)^2 - 6(-2) - 7 = 4 + 12 - 7 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
- Теперь точка из второго интервала, например, \( x = 0 \):
\[ x^2 - 6x - 7 = 0^2 - 6 \cdot 0 - 7 = -7 \quad (\text{отрицательно}) \]
- Точка из третьего интервала, например, \( x = 8 \):
\[ x^2 - 6x - 7 = 8^2 - 6 \cdot 8 - 7 = 64 - 48 - 7 = 9 \quad (\text{положительно}) \]
Теперь мы знаем, что:
- На интервале \( (-\infty, -1) \) функция положительная.
- На интервале \( (-1, 7) \) функция отрицательная.
- На интервале \( (7, +\infty) \) функция положительная.
Неравенство \( x^2 - 6x - 7 \geq 0 \) выполняется в интервалах \( (-\infty, -1] \) и \( [7, +\infty) \).
Таким образом, ответ:
\[ x \in (-\infty, -1] \cup [7, +\infty) \]
