Реши уравнение

Привет! Давай решим это уравнение вместе. У нас есть:

\[ (x^2 + 6x)^2 + 2(x + 3)^2 = 81 \]

1. Сначала разложим каждое выражение в уравнении: \[ u = x^2 + 6x \] \[ v = x + 3 \]

Тогда уравнение можно переписать как: \[ u^2 + 2v^2 = 81 \]

2. Найдем \(v^2\): \[ v^2 = (x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9 \]

3. Подставим это в уравнение: \[ u = x^2 + 6x \] \[ v^2 = x^2 + 6x + 9 \]

4. Видим, что \(v^2 = u + 9\), подставим это в уравнение: \[ u^2 + 2(u + 9) = 81 \]

5. Раскроем скобки и упростим: \[ u^2 + 2u + 18 = 81 \]

6. Перенесем все в одну сторону и решим квадратное уравнение: \[ u^2 + 2u + 18 - 81 = 0 \] \[ u^2 + 2u - 63 = 0 \]

7. Найдем \(u\) с помощью дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-63) = 4 + 252 = 256 \] \[ u_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{256}}{2} = \frac{-2 \pm 16}{2} \]

8. Получаем два корня: \[ u_1 = \frac{-2 + 16}{2} = 7 \] \[ u_2 = \frac{-2 - 16}{2} = -9 \]

Поскольку \(u = x^2 + 6x\), рассмотрим оба случая:

9. Первый случай: \[ x^2 + 6x = 7 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 + 6x - 7 = 0 \] \[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7) = 36 + 28 = 64 \] \[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 \pm 8}{2} \] \[ x_1 = \frac{2}{2} = 1, x_2 = \frac{-14}{2} = -7 \]

10. Второй случай: \[ x^2 + 6x = -9 \] Решаем квадратное уравнение: \[ x^2 + 6x + 9 = 0 \] \[ (x + 3)^2 = 0 \] \[ x = -3 \]

Итак, наши ответы: \[ x = 1, x = -7, x = -3 \]

Надеюсь, это помогло! Если у тебя есть еще вопросы, не стесняйся задавать их!