Үшбүрыштың үш қабырғасы берілген: ВС = 2, АС = 3, AB = 4. A, В, С бұрыштарының косинустарын табыңдар

Чтобы найти косинусы углов треугольника ABC, где даны длины сторон: BC = 2, AC = 3, AB = 4, мы можем использовать закон косинусов, который гласит:

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C) \]

Где \(a\) и \(b\) – длины сторон вокруг угла \(C\), а \(c\) – длина противоположной стороны. Применим закон косинусов для каждого угла.

1. Угол C (угол при вершине C):

Здесь стороны:

• \(a = AB = 4\)
• \(b = AC = 3\)
• \(c = BC = 2\)

Подставим в формулу:

\[ 2^2 = 4^2 + 3^2 - 2 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cos(C) \] \[ 4 = 16 + 9 - 24 \cdot \cos(C) \] \[ 4 = 25 - 24 \cdot \cos(C) \] \[ 24 \cdot \cos(C) = 25 - 4 \] \[ 24 \cdot \cos(C) = 21 \] \[ \cos(C) = \frac{21}{24} = \frac{7}{8} \]

2. Угол A (угол при вершине A):

Здесь стороны:

• \(a = AC = 3\)
• \(b = BC = 2\)
• \(c = AB = 4\)

Подставим в формулу:

\[ 4^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos(A) \] \[ 16 = 9 + 4 - 12 \cdot \cos(A) \] \[ 16 = 13 - 12 \cdot \cos(A) \] \[ 12 \cdot \cos(A) = 13 - 16 \] \[ 12 \cdot \cos(A) = -3 \] \[ \cos(A) = -\frac{3}{12} = -\frac{1}{4} \]

3. Угол B (угол при вершине B):

Здесь стороны:

• \(a = AB = 4\)
• \(b = BC = 2\)
• \(c = AC = 3\)

Подставим в формулу:

\[ 3^2 = 4^2 + 2^2 - 2 \cdot 4 \cdot 2 \cdot \cos(B) \] \[ 9 = 16 + 4 - 16 \cdot \cos(B) \] \[ 9 = 20 - 16 \cdot \cos(B) \] \[ 16 \cdot \cos(B) = 20 - 9 \] \[ 16 \cdot \cos(B) = 11 \] \[ \cos(B) = \frac{11}{16} \]

Таким образом, мы нашли косинусы углов треугольника ABC:

• \(\cos(A) = -\frac{1}{4}\)
• \(\cos(B) = \frac{11}{16}\)
• \(\cos(C) = \frac{7}{8}\)