1.14. На плоскости даны векторы а =1 + 3j , Б = 2i - 2] , с = 21 - 4). Разложить вектор с по векторам а и Б.
Чтобы разложить вектор \( \mathbf{c} \) по векторам \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \), необходимо найти такие скаляры \( \alpha \) и \( \beta \), чтобы:
\[ \mathbf{c} = \alpha \mathbf{a} + \beta \mathbf{b} \]
Сначала запишем векторы в явном виде:
\[ \mathbf{a} = 1\mathbf{i} + 3\mathbf{j} \] \[ \mathbf{b} = 2\mathbf{i} - 2\mathbf{j} \] \[ \mathbf{c} = 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} \]
Теперь подставим выражение для \(\mathbf{c}\):
\[ 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} = \alpha (1\mathbf{i} + 3\mathbf{j}) + \beta (2\mathbf{i} - 2\mathbf{j}) \]
Раскроем скобки:
\[ 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} = \alpha \mathbf{i} + 3\alpha \mathbf{j} + 2\beta \mathbf{i} - 2\beta \mathbf{j} \]
Объединим векторы по единицам \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \):
\[ 2\mathbf{i} - 4\mathbf{j} = (\alpha + 2\beta) \mathbf{i} + (3\alpha - 2\beta) \mathbf{j} \]
Теперь составим систему уравнений, приравняв коэффициенты перед \( \mathbf{i} \) и \( \mathbf{j} \):
- \( \alpha + 2\beta = 2 \) (1)
- \( 3\alpha - 2\beta = -4 \) (2)
Теперь решим эту систему уравнений.
Из уравнения (1) выразим \( \alpha \):
\[ \alpha = 2 - 2\beta \]
Подставим это выражение в уравнение (2):
\[ 3(2 - 2\beta) - 2\beta = -4 \]
Упрощаем:
\[ 6 - 6\beta - 2\beta = -4 \] \[ 6 - 8\beta = -4 \] \[ -8\beta = -4 - 6 \] \[ -8\beta = -10 \] \[ \beta = \frac{10}{8} = \frac{5}{4} \]
Теперь подставим значение \(\beta\) в \( \alpha = 2 - 2\beta \):
\[ \alpha = 2 - 2 \cdot \frac{5}{4} = 2 - \frac{10}{4} = 2 - 2.5 = -0.5 \]
Таким образом, значения \(\alpha\) и \(\beta\) равны:
\[ \alpha = -0.5, \quad \beta = \frac{5}{4} \]
Итак, мы можем записать вектор \( \mathbf{c} \) как:
\[ \mathbf{c} = -0.5\mathbf{a} + \frac{5}{4}\mathbf{b} \]
