Докажите, что если 2 вектора коллинеарны, то координаты 1 вектора пропорциональны координатам другого. сформулируйте и докажите обратное утверждение.

Чтобы доказать, что если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, давайте рассмотрим два вектора a и b в пространстве \(\mathbb{R}^n\). Векторы коллинеарны, если существует скаляр \(k\), такой что:

\[ **a** = k \cdot **b** \]

Пусть вектор a имеет координаты \((a_1, a_2, \ldots, a_n)\), а вектор b имеет координаты \((b_1, b_2, \ldots, b_n)\). Из определения мы можем написать:

\[ a_1 = k \cdot b_1, \] \[ a_2 = k \cdot b_2, \] \[ \ldots \] \[ a_n = k \cdot b_n. \]

Таким образом, видно, что каждое значение координаты вектора a может быть представлено как \(k\) умноженное на соответствующую координату вектора b. Это показывает, что координаты вектора a пропорциональны координатам вектора b.

Теперь сформулируем и докажем обратное утверждение. Обратное утверждение гласит: если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.

Предположим, что координаты векторов a и b пропорциональны, то существует скаляр \(k\), такой что:

\[ a_1 = k \cdot b_1, \] \[ a_2 = k \cdot b_2, \] \[ \ldots \] \[ a_n = k \cdot b_n. \]

Мы знаем, что векторы можно выразить через свои координаты. Это можно представить вектором:

\[ **a** = (a_1, a_2, \ldots, a_n) = (k \cdot b_1, k \cdot b_2, \ldots, k \cdot b_n) = k \cdot (b_1, b_2, \ldots, b_n) = k \cdot **b**. \]

Таким образом, мы вновь приходим к тому, что вектор a является скалярным произведением вектора b и какого-то числа \(k\). Это означает, что векторы a и b коллинеарны.

Мы доказали оба утверждения: если два вектора коллинеарны, то их координаты пропорциональны, и наоборот, если координаты двух векторов пропорциональны, то эти векторы коллинеарны.